Эта статья продолжает цикл статей о понимании графиков.
См. предыдущие статьи:
- «Зачем физикам графики? Что они в них видят?» - статья о том, что такое график и зачем он нужен.
- «Что физики видят в графиках? Я тоже так хочу!» - статья о графиках равномерного движения
- «Что физики видят в графиках? Продвигаемся «вглубь» - статья о графике равноускоренного движения
В этой статье мы рассмотрим график скорости от времени для равноускоренного движения.
График скорости от времени для равноускоренного движения
При рассмотрении равноускоренного движения физики используют ещё одно уравнение – уравнение зависимости скорости от времени V(t):
V(t) = Vo + at
Те, кто знаком с понятием «производная функции», и знает, что скорость есть производная координаты по времени V = X’(t), заметят, что это уравнение получается взятием производной по времени от уравнения зависимости координаты от времени.
И это уравнение очень похоже на уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения, с той лишь разницей, что это уравнение скорости.
И графиком такой функции будет прямая линия. С прямыми линиями удобно работать!
Скорость и ускорение
Изучаем график на рис.1. Мы такие графики уже умеем читать! Проекция начальной скорости Vo=20 м/с. Направлена скорость в ту же сторону, что и ось OX. Тело равномерно увеличивает свою скорость, тангенс угла наклона >0, следовательно, проекция ускорения положительна – ускорение тоже направлено в сторону оси OX. Так же мы с легкостью можем определить скорость тела в любой момент времени.
Рассчитаем проекцию ускорения:
Таким образом мы получили уравнение зависимости скорости данного тела от времени:
V(t) = 20 + 2t
Сравнение графиков скорости
Достаточно просто сравнивать графики движения двух разных тел.
Рассмотрим движение двух тел на рис.2.
Первое тело: начальная скорость равна 0 – тело покоилось. Тело стало равномерно увеличивать скорость, т.е. двигаться равноускорено. Проекция скорости положительна (график «идёт вверх»). Рассчитаем ускорение:
а1 = (50 - 0) / (20 - 0) = 2,5 м/с2
Т.е. Тело из состояния покоя разгоняется в направлении оси OX.
Второе тело: начальная скорость Vo = 150 м/с. Проекция скорости положительна – тело движется в направлении оси OX. Проекция ускорения отрицательна – тело уменьшает свою скорость.
Рассчитаем ускорение:
а2 = (50 - 150) / (20 - 0) = -5 м/с2
Примечательна точка на втором графике в момент времени t1=30 с. В этот момент скорость тела равна нулю – тело остановилось. И после этого проекция скорости поменяла знак и стала отрицательной, т.е. тело развернулось и стало равноускорено двигаться в сторону, противоположную направлению оси OX.
Таким образом второе тело первые 30 секунд двигалось в направлении оси ОХ, равномерно уменьшая скорость. На 30 секунде тело остановилось и после начало движение в противоположную сторону с тем же ускорением.
Интересна точка на t2=20 с. Графики пересеклись. Что это значит? Тела встретились? Нет! Это значит, что в этот момент скорости двух тел были одинаковы, и больше ничего! По поводу того «Где тела?» читайте чуть ниже…
Чтение сложного графика
Так же достаточно просто читать «сложные» графики движения тела.
Рассмотрим движение тела на рис.3.
Тело начало из состояния покоя Vo=0 м/с. Первые 10 секунд тело двигалось с ускорением a=6 м/с2 в направлении оси OX. Разогналось до скорости 60 м/с. Следующие 10 секунд (с 10 с по 20 с) тело продолжило разгонятся в ту же сторону, но уже с ускорением a=4 м/с2 (видно, что наклон графика чуть уменьшился). Разогналось тело до скорости 100 м/с. Следующие 10 секунд тело двигалось равномерно (график – горизонтальная линия, т.е. a=0 м/с2). После 30 секунды тело начало быстро «терять» скорость – график «идет вниз», проекция ускорения отрицательна а=-10 м/с2. «Крутизна» графика на этом участке самая большая – это участок, на котором тело испытывало самое большое по модулю ускорение. Скорость снизилась до нуля. С 40 секунды по 50 секунды тело покоилось. И скорость, и ускорение тела были равны нулю. После 50 секунды, следующие 10 секунд, тело имело отрицательное ускорение a=-4 м/с2 и разгонялось в сторону, противоположную направлению оси OX, до скорости V=-40 м/с. Последние 10 секунд тело двигалось равномерно со скоростью V=-40 м/с. Как-то так…
Где тело находится? Как много оно пробежало?
График скорости просто читается и на нем легко определяются скорости тела в любой момент времени и ускорение. Но не может быть всё идеально, в чём то, должен быть подвох! Да, он есть!
По графику мы много можем узнать о том, как тело движется, но абсолютно ничего не можем сказать где тело находится! Но ведь движение это «…изменение положения тело в пространстве…», а этот график не дает нам возможности привязаться к началу отсчёта. Что ж, за удобство приходится платить.
Даже если мы видим два графика на одном рисунке (как на рис.2), это абсолютно не значит, что тела находятся рядом. Они могут находится за сотни, тысячи километров друг от друга! Но о чем можно сказать уверенно, так это то, что мы «наблюдаем» за этими телами одновременно, т.е. фиксируем их скорости в один и тот же момент времени.
Те, кто знаком с понятие «первообразная функции» («неопределенный интеграл функции») знает, что при нахождении первообразной к найденному уравнению всегда прибавляют некую константу C, которая означает «любое число».
Если это сравнить уравнение зависимости координаты тела от времени при равноускоренном движении, то понятно, что С – это и есть начальная координата Xo. Но ведь С – любое число! Следовательно, и начальная координата может быть любой – тело может находится где угодно!
В связи с этим, в текстах задач, к которым прикладывается график скорости, можно увидеть прямое указание на начальную координату тела, обеспечивая, тем самым, «привязку» к системе координат.
Но кое-что интересное, связанное с привязкой к системе отсчёта, всё же можно увидеть на графике зависимости скорости от времени!
Рассмотрим простой график зависимости скорости от времени (Рис. 4).
Пусть начальная координата тела будет Xo=0 м. Видим, что начальная скорость Vo=30 м/с. График – горизонтальная линия. Ускорение a=0 м/с2.
Это равномерное движение.
Пройденный путь при равномерном движении считается по формуле S=Vt.
Давайте возьмем конкретный промежуток времени, например, с 0 секунды до 40 секунды. Для расчёта расстояния, пройденного телом, надо скорость 30 м/с умножить на время 40 с.
Но взгляните на рис.5.
На нем я отметил время 40 с (красной тонкой линией), время t на оси абсцисс (синяя жирная линия) и скорость тела на оси ординат (зелёная жирная линия). Получился прямоугольник (заштрихован). Как найти площадь этого прямоугольника – надо перемножит две стороны, V=30 м/с и t=40 с. Мы делаем тоже, что и при расчете пройденного пути! Таким образом, площадь фигуры, ограниченная графиком, осью абсцисс, и двумя отметками времени численно равна пути, пройденному этим телам за этот промежуток времени (физики говорят короче «площадь под графиком»).
Математически это называется «найти определённый интеграл функции».
И этот подход можно перенести на любой график зависимости скорости от времени.
Вот еще пример: По графику на рис.6 определите какое расстояние прошло тело с 20 по 60 секунды.
Это график зависимости скорости от времени. Следовательно, пройденный путь – это «площадь по графиком».
Отметим на графике начальный и конечный моменты времени. Получилась прямоугольная трапеция, как бы лежащая на своей высоте. Площадь трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Считаем:
Можно было считать и по-другому, как говорят физики «квадратиками». Образовавшаяся фигура заполнена внутри прямоугольниками («квадратиками»). Сколько их? Считаем:
- С 20 по 40 секунды 3 целых и два ровно разделены пополам, т.е. еще один.
Всего 4. - С 40 по 60 секунды 5 целых и два ровно разделены пополам, т.е. еще один.
Всего 6. - Итого площадь фигуры 4+6=10 «квадратиков».
- Теперь считаем «вес» одного «квадратика»: его стороны 20 секунд на 20 м/с.
- Вес квадратика 20 с * 20 м/с = 400 м.
- Считаем пройденный путь (он же площадь фигуры)
10 квадратиков * 400 м = 4000 м.
Какой способ лучше – выбирать Вам.
Вот какая интересная особенность получается у таких графиков: мы ничего не можем сказать о том, где это происходит, но досконально можем понят как движется тело, с какой скорость и ускорением, какой путь оно пройдет за определённый промежуток времени. В связи с этим, когда идет речь о равноускоренном движении, вероятность увидеть график зависимости скорости тела от времени намного выше, чем увидеть график зависимости координаты от времени.
Но в тоже время, у Вас, при виде этого графика V(t), есть скрытая опасность спутать его с графиком равномерного движения X(t) – они так похожи! Поэтому, первое на что Вы должны обратить внимание, это на обозначение оси ординат: что там скорость или координата. Второе – в каких единицах представлены данные: это могут быть и м/с, и км/ч, и любые другие размерности… Также внимательно на время: секунды, минуты, часы, дни, миллисекунды…
И на будущее. Это хитрый приёмчик с «площадью под графиком» срабатывает и на многих других графиках, применяемых в физике. Если какая-то физическая величина является произведением двух других величин, и вы видите график зависимости этих двух величин друг от друга, то данный приём имеет место быть! Таких вариантов очень много в физике.
Их мы рассмотрим позже…
Продолжение следует…