Посмотрите на любую пару Вашей обуви со шнурками, лучше завязанными. Что вы там увидите? Переплетения, пересечения и узлы. В математике есть целый раздел, который называется теория узлов.
Конечно, математические узлы особенные - они всегда замкнуты. Можно завязать любой обычный узел - из веревочки, спагетти, лассо, шланга, провода, но потом нужно соединить концы с помощью скотча. В итоге получится крендель, но это и будет математический узел.
Теория узлов, конечно хорошо проработана, но в ней есть свои особенности. Колин Адамс даёт следующее определение узла в математике: "Это замкнутая кривая в пространстве, которая не пересекает себя ни в одной точке". Такое определение наталкивает на мысль о том, какой же узел является простейшим. Таким узлом является простая окружность и такой узел называется "незаузленным" (тривиальным). "Восьмёрка" и "трилистник" тоже простые узлы.
Что же интересует математиков, занимающихся узлами? Они стремятся узнать можно ли развязать тот или иной узел, не разрезая его, или можно ли определить, что узел на самом деле тривиальный, только притворяется в виде какой-нибудь оригинальной форме.
Теория узлов также сильно как математиков интересует биологов. И все из-за ДНК - молекулы, которая кодирует материалы, необходимые для всех живых организмов, которая иногда может содержать узлы, а они, в свою очередь могут влиять на то, как информация в молекуле ДНК может интерпретироваться клеточными механизмами организма. Существуют ферменты - топоизомеразы, которые умеют завязывать и развязывать узлы в структуре ДНК.
Химики также заинтересованы в узлах, чтобы разобраться со сцепленными молекулами, так как в зависимости от узла определенная молекула может совершенным образом поменять своё поведение.
Математик 19 века Питер Гатри Тейт создал классификацию узлов, согласно количеству их пересечений.
Еще одна непростая проблема и один из главных раздражителей современного мира - запутанные наушники. Вы достаёте свёрнутый шланг из подвала и видите, как он превратился в узел, достаёте новогоднюю гирлянду и обнаруживаете сплошной ком из узлов. Почему?
Оказывается. существует математическое объяснение тому, что длинные гибкие вещи, такие, как шнуры, шнурки и веревки завязываются в узлы. Исследование на эту тему было опубликовано в 2007 году. Существует мало вариантов, при которых скомканные веревкоподобные объекты остаются незапутанными - например, когда секции веревки остаются параллельными самим себе, не касаются друг друга и не имеют точек пересечения - и много-много вариантов, при которых верёвка запутывается.
Конечно, каждый знает, что шнурок или верёвка запутываются в течение нескольких секунд. Все, что для этого нужно - это один свободный конец, который пересекает часть самой верёвки.
Во время исследования команда из Сан-Диего поместила веревки разной длины на 10 секунд во вращающуюся коробку от электромотора. Используя теорию узлов, они обнаружили, что в 96% случаев узлы были простыми, то есть число пересечений варьировалось от 3 до 11. Команда также обнаружила, что чем короче была верёвка - меньше полуметра, - тем меньше узлов на ней образовывалось, но если длина приближалась к 2 или 6 метрам, то вероятность запутывания резко возрастала. Если же веревка была длиннее, то вероятность сильно не возрастала.
Запутанные шнуры породили целую индустрию: были изобретены устройства против спутывания, например, вращающиеся на 360 градусов части трубок в витом шнуре.