Предложим, что есть идеальная монета и идеальный механизм, подбрасывающий монету с вероятностью выпадения орла - 0.5.
Человек, пусть его зовут Иммануил, пытается угадать при каждом броске какой стороной упадет монета. Вроде бы вероятность угадать равна 0.5 - так?
Далее, я попытаюсь запутать вас следующим рассуждением.
Если Иммануил всегда будет ставить на орла, то при больших количествах попыток он угадает половину бросков. То же самое, если он будет постоянно ставить на решку. Так?
Но если Иммануил будет ставить всегда на разные исходы согласно его интуиции, предположим что в его ставках будет преобладать орёл, тогда при больших количествах бросков механизм выдаст вероятность 0.5, а прогнозы Иммануила распределятся, например, так: 60% орла и 40% решка.
Вопрос:
Влияет ли распределение ставок Иммануила на его матожидание?
Другими словами, не выгоднее ли всегда ставить на один исход, если играешь против идеального механизма?
Ответ: никакой разницы нет!
Решение:
1. Условие
- Монета идеальная: Р(орел)=Р(решка)=0.5
- Иммануил делает ставки на каждый бросок.
- Его стратегия может быть:
- Всегда ставить на орёл
- Всегда ставить на решку
- Ставить по «интуиции», то есть распределять ставки произвольно (например, 60% орёл, 40% решка)
2. Вычислим математическое ожидание выигрыша
Для удобства предположим что Иммануил при угадывании получает 100 руб, а при промахе - отдает 100 руб:
Математическое ожидание (М) =
- Если Иммануил всегда ставит на орел:
М = Р(выпал орёл)*100+Р(выпала решка) *(-100) =0
- Если Иммануил всегда ставит на решку:
М = Р(выпал орёл)*(-100) +Р(выпала решка) *100 =0
- Иммануил ставит 60% на орёл, 40% на решку.
М = {Р(выпал орёл)*100+Р(выпала решка) *(-100)}*0.6 +
{Р(выпал орёл)*(-100)+Р(выпала решка) *100} *0.4=0
То есть матожидание не изменилось.
3. Вывод
Распределение ставок не влияет на математическое ожидание, если монета идеальная и механизм честный.
Неважно, ставишь ли всегда на один исход или распределяешь по «интуиции» — математическое ожидание выигрыша будет 0.5 на бросок.
Стратегия «всегда ставить на один исход» не даёт преимущества, но и не хуже любой другой.