Метод Гаусса-Жордана (или метод полного исключения Гаусса) — это алгоритм линейной алгебры, который используется для решения систем линейных уравнений (СЛУ), нахождения обратной матрицы и вычисления ранга матрицы. Он является расширением обычного метода Гаусса (метода исключения Гаусса). Основное отличие заключается в том, что метод Гаусса приводит матрицу к ступенчатому виду, а метод Гаусса-Жордана доводит её до приведённой ступенчатой формы (reduced row echelon form, RREF) или, в случае квадратной матрицы, к единичной матрице (если она обратима).
Суть метода:
Метод Гаусса-Жордана заключается в последовательном применении элементарных преобразований строк к расширенной матрице системы (или просто к матрице, если нужно найти обратную). Цель – привести матрицу к приведённой ступенчатой форме.
Элементарные преобразования строк:
- Перестановка строк: Обмен двух строк местами.
- Умножение строки на ненулевой скаляр: Умножение всех элементов строки на одно и то же число, отличное от нуля.
- Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на скаляр: Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
Алгоритм метода Гаусса-Жордана:
- Запись расширенной матрицы: Для решения СЛУ записывается расширенная матрица, состоящая из матрицы коэффициентов системы и столбца свободных членов. Для нахождения обратной матрицы к матрице A, записывается расширенная матрица [A | I], где I – единичная матрица того же размера, что и A.
- Прямой ход (приведение к ступенчатому виду):Находим в первом столбце (слева направо) ненулевой элемент (если все элементы в первом столбце нули, переходим ко второму столбцу и т.д.). Этот элемент называется ведущим элементом (или пивотом). Если нужно, переставляем строки так, чтобы ведущий элемент оказался в первой строке.
Делим первую строку на ведущий элемент, чтобы сделать его равным 1.
Используя элементарные преобразования (прибавление к другим строкам первой строки, умноженной на соответствующий скаляр), обнуляем все остальные элементы в первом столбце (кроме ведущего элемента, который равен 1).
Переходим ко второму столбцу и второй строке. Находим ведущий элемент (ниже первой строки), делаем его равным 1, и обнуляем все остальные элементы во втором столбце (ниже второй строки).
Продолжаем этот процесс для всех столбцов и строк, пока это возможно. - Обратный ход (приведение к приведённой ступенчатой форме):После того, как матрица приведена к ступенчатому виду, начинаем обратный ход. Начинаем с последнего (правого) столбца, содержащего ведущий элемент.
Используя элементарные преобразования, обнуляем все элементы над ведущим элементом (делаем все элементы выше ведущего элемента равными нулю).
Переходим к предыдущему столбцу и повторяем этот процесс.
Продолжаем, пока все элементы над всеми ведущими элементами не будут равны нулю. - Результат:Решение СЛУ: Если расширенная матрица была получена из СЛУ, то после приведения к приведённой ступенчатой форме, решение системы можно непосредственно прочитать из последнего столбца (столбца свободных членов). Если в процессе преобразований получается строка вида [0 0 … 0 | b], где b ≠ 0, то система не имеет решений (противоречивая). Если получаются строки, состоящие только из нулей, то система имеет бесконечно много решений (недоопределённая).
Обратная матрица: Если расширенная матрица была [A | I], то после приведения матрицы A к единичной матрице, на месте единичной матрицы I будет находиться обратная матрица A⁻¹. Если матрицу A не удалось привести к единичной (например, если в процессе преобразований получается строка, состоящая только из нулей), то матрица A не имеет обратной.
Ранг матрицы: Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в приведённой ступенчатой форме.
Пример (решение СЛУ):
Решить систему:
Преимущества метода Гаусса-Жордана:
- Универсальность: Подходит для решения СЛУ, нахождения обратной матрицы и вычисления ранга матрицы.
- Алгоритмичность: Легко реализуется на компьютере.
- Надежность: Если выполняется аккуратно, то приводит к правильному решению (или к выводу о его отсутствии).
Недостатки:
- Вычислительная сложность: Для больших матриц может быть довольно трудоемким.
- Необходимость деления: Может приводить к накоплению ошибок округления при использовании с плавающей точкой.
В заключение, метод Гаусса-Жордана – это мощный и универсальный инструмент для решения задач линейной алгебры. Он особенно полезен, когда требуется найти не только решение СЛУ, но и обратную матрицу или ранг матрицы.