Квадрат Паскаля — это адаптация классического треугольника Паскаля для работы с двумерными структурами. В отличие от треугольника, где числа формируются суммированием двух верхних элементов, квадрат Паскаля строится по правилам, учитывающим движение как по горизонтали, так и по вертикали. Рассмотрим его на примере таблицы 8×8.
Квадрат Паскаля обладает зеркальной симметрией по горизонтали и вертикали. Например, первая и последняя строки содержат только единицы. Вторая и седьмая строки идентичны: 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2. Центральные строки (4 и 5) содержат максимальные значения — 20. Визуально таблица выглядит так: первая строка — все единицы, во второй строке числа увеличиваются до 4, затем симметрично уменьшаются. В третьей строке числа растут до 10, а в центральных строках достигают 20, после чего зеркально повторяются.
Формирование квадрата начинается с заполнения краевых ячеек единицами. Каждое последующее число (кроме единиц) равно сумме числа сверху и числа слева. Например, во второй строке: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1. В третьей строке: 6 = 3 + 3, 10 = 6 + 4. После достижения центра квадрата значения начинают симметрично уменьшаться, что создает баланс структуры.
Числа в квадрате Паскаля отражают количество путей из левого верхнего угла в текущую клетку при движении только вправо и вниз. Например, значение 20 в центре означает 20 различных маршрутов до этой клетки. Это связывает квадрат с комбинаторикой и биномиальными коэффициентами, но в двумерной интерпретации.
Квадрат Паскаля применяется в решении комбинаторных задач, таких как расчет числа маршрутов в сетках, а также в генерации симметричных паттернов для компьютерной графики. В образовании он служит наглядным примером для объяснения рекуррентных последовательностей.
От классического треугольника Паскаля квадрат отличается размерностью: треугольник — одномерная структура с диагональной симметрией, а квадрат — двумерный с зеркальной симметрией. Максимумы в треугольнике находятся в центре строки, а в квадрате — в геометрическом центре таблицы.
Таким образом, квадрат Паскаля демонстрирует, как классические математические концепции адаптируются для новых задач, сохраняя логику, но расширяя область применения за счет симметрии и двумерности.