Привет! На связи Александр, репетитор по математике. Канал “Учитель по жизни”.
Давай решим тригонометрическое уравнение такого вида:
В уравнении представлены две функции: синус и косинус. Оставим только одну из них. Для этого выразим из основного тригонометрического тождества квадрат синуса
Подставим в уравнение вместо квадрата синуса выражение
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Умножим обе части на минус единицу, чтобы коэффициент перед старшей степенью стал положительным
На что стало похоже наше тригонометрическое уравнение?
Присмотрись!
Если все-таки не очень понятно, то давай сделаем замену. У нас косинус в уравнении повторяется два раза. Обозначим косинус за новую переменную.
Исходное уравнение примет вид
Теперь всё ясно, мы же получили квадратное уравнение. Решаем его, находим дискриминант.
По формуле корней квадратного уравнения получим два корня:
Второй корень нам не подходит, т.к. он меньше минус единицы, а наша переменная должна находится только в промежутке от минус одного до одного (– 1 ≤ t ≤ 1). Значит только первый корень является решением квадратного уравнения.
Мы полностью решили уравнение относительно переменной t. Пора возвращаться к косинусу.
Сделаем обратную замену
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Мы легко его решим. Схематично нарисуем тригонометрический круг, отметим каким углам соответствует значение косинуса.
Получим две серии решений:
где k ⎯ целое число.
Если тебе учитель в школе запрещает пользоваться значком “совокупность” (левая квадратная скобка), то найденные серии можешь записать так:
Мы готовы записать ответ.
Можно в ответ записать две серии решений, а можно объединить две серии в одну.
Давай объединим.
Ответ:
P.S. Обрати внимание, мы могли бы записать в ответ и такие серии решений:
и это также было бы правильно.
А почему так?
Значение косинуса равного одна вторая соответствует углам 60 и 300 градусов (если мы пошли отсчитывать углы в положительном направлении тригонометрического круга, т.е. против часовой стрелки). Вот поэтому мы и получили такие серии решений. Так записывать ответ тоже верно.
Для того, чтобы научиться легко решать такие уравнения смотри видео в моих соцсетях. Если у тебя остались вопросы – записывайся ко мне на индивидуальные занятия: https://vk.com/alex_prepod
Шпаргалки по тригонометрии можно бесплатно скачать здесь: https://vk.com/docs-156076479
Ещё больше моих видео:
🔹 Дзен: @alex_prepod
🔹 Группа ВКонтакте:
🔹 Телеграм канал:
🔹Рутюб:
https://rutube.ru/channel/24739619
Уравнение взято из Тренировочной работы № 1 (СтатГрад) для 10 класса ЕГЭ математика профильный уровень 04.02.2025 (Вариант МА 2400109).