Прочитаем условие задачи:
Что необходимо понять из условия, чтобы сделать чертеж:
1. Треугольник остроугольный, значит все углы треугольника острые, то есть меньше 90°.
2. Нужно провести две высоты.
Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Высота АА1 выходит из вершины А и перпендикулярна прямой ВС, точка А1 лежит на стороне ВС. Высота СС1 выходит из вершины С и перпендикулярна прямой АВ, точка С1 лежит на стороне АВ.
Доказать нужно равенство углов СС1А1 и САА1. Угол САА1 на чертеже есть, а вот угол СС1А1 необходимо достроить, соединив точки С1 и А1. И отметим углы, равенство которых нужно доказать.
Чертеж готов, он содержит всю необходимую информацию из условия, поэтому можем приступать к доказательству.
Доказательство:
Если вы посмотрите на треугольники, в которые входят интересующие нас углы, то заметите, что они абсолютно разные: ▲ АА1С прямоугольный, ▲ А1С1С тупоугольный. И на первый взгляд связи между углами нет.
Здесь следует отметить, что при решении геометрических задач во 2-й части ОГЭ по математике, не важно в каком задании (23, 24 или 25), можно и нужно пользоваться всем арсеналом знаний по геометрии.
Давайте обратим внимание на два прямоугольных треугольника ▲ АА1С и ▲АС1С. У них общая гипотенуза АС.
Мы знаем, что любой треугольник можно вписать в окружность, причем у прямоугольного треугольника гипотенуза будет совпадать с диаметром этой окружности. Центр окружности будет совпадать с серединой гипотенузы, радиус окружности равен половине гипотенузы.
Поскольку ▲ АА1С и ▲АС1С вписаны в окружность, значит все четыре вершины А, А1, С, С1 лежат на окружности.
Вернемся к нашим углам СС1А1 и САА1.
В данной ситуации эти углы являются вписанными в окружность с центром в точке О. При этом и ∟СС1А1 и ∟САА1 опираются на ‿А1С. А мы знаем:
Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.
Следовательно ∟СС1А1 = ∟САА1 что и требовалось доказать.
Вот такая задача у нас с вами получилась. Желаю вам успехов и удачи.