Кто виноват? (Парадоксы). 2

Начало там:

А теперь продолжим.

Прежде всего, виноват судья. Осмотрев всю длинную цепочку рассуждений, мы видим, что он вынес внутренне противоречивый приговор.

А с ошибкой осужденного все намного сложнее. И мне трудно это сформулировать, и я потратил три дня на поиск формулировок, потому что я не пришел к ясному формализованному анализу ситуации. Вообще-то это работа специалистов по математической логике, и мне она чужда.

Итак, осужденный пришел к выводу:

Меня не казнят, потому что это невозможно.

Так решил осужденный и так подумали многие из читателей. В действительности его вывод звучит так:

Меня не казнят, потому что я думаю, что это невозможно.

Вот эту разницу — между реальностью и тем, что мы думаем о ней — надо понять. Он думал, что его не казнят, и его казнили — здесь нет никакого противоречия. А в чем же ошибка его рассуждений?

Более выпукло это звучит в парадоксе лжеца.

Допустим, Некто лжет. Значит, его утверждение о том, что он лжет, является ложью. Поэтому он говорит правду.

Дальше идет чисто мое IMHO. Я далек от мысли о формализации этих соображений и превращении их в теоремы по математической логике. Не мое это, колупаться в формализмах! Не исключаю также, что мои чувствования по этому поводу ошибочны и поэтому не поддаются формализации.

Обратите внимание на слова, выделенные жирным. Они представляют собой суждение о суждении. В своем рассуждении мы смешали одно суждение (Некто лжет) с другим суждением об этом суждении (оно ложно) и как вывод получили суждение типа первого (Некто говорит правду).

Мне кажется, у меня есть чуйка, что именно тут ошибка. Нельзя в одном рассуждении смешивать (сопоставлять, делать конъюнкцию) суждение и суждение об этом суждении.

В случае с осужденным есть суждение А = "меня казнят" и суждение об этом суждении (А ложно) — и делается вывод уровня первого суждения (меня не казнят). Казалось бы, что тут такого, логично же! Но мы видим, к чему такая логика приводит.

Вот, нечаянно прозвучало слово "уровень"! Назовем суждения "Меня (не) казнят", "Некто лжет (говорит правду)" суждениями первого уровня. Суждения об истинности суждений первого уровня отнесем ко второму уровню. Суждения об истинности суждений второго уровня назовем суждениями третьего уровня. И так далее... Предлагается ввести запрет на одновременное использование суждений разного уровня. Кажется (у меня чуйка), что можно разрешить, если вывод принадлежит высшему из использованных уровней.

Мне представляется, что если попытаться формализовать все эти глупости, то на выходе получится теория типов (не даю ссылку на Википедию, там вместо статьи какой-то винегрет). Но должен предупредить, что у меня только ощущения о теории типов.

Вернемся к приговору судьи. Мог он сразу, не прибегая к длинным рассуждениям, видеть противоречивость своего приговора? Теперь мы можем с уверенностью заключить, что он мог заподозрить, что тут дело нечисто: он смешал в одном приговоре сам факт казни (суждение первого уровня) и мнение осужденного об этом факте (суждение второго уровня).

...................................................

Никаких идей по совершенствованию изложения... Наверное, пора выпускать.

Но продолжение будет. Вот оно:

------------------------------------

Подборка "О математике"