На барабан, представляющий собой сплошной однородный цилиндр массой m1 = 100 кг намотана веревка, к концу которой подвешен груз массой m2=30 кг. Каково ускорение груза, если сопротивление вращению барабана и сопротивление воздуха отсутствуют?
Рассмотрим отдельно действие сил на груз и барабан.
На груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T. Равнодействующая этих сил создает ускорение груза a. Напишем уравнение II закона Ньютона для этого тела:
На барабан также действует сила натяжения нити. И, соответственно, крайние его точки тоже будут двигаться с ускорением a.
Таким образом, барабан начнет крутится вокруг центральной точки с угловым ускорением ε. Составляем уравнение II закона Ньютона для вращения тел:
J - момент инерции массы барабана. M - моменты сил, действующих на барабан.
Получается, что произведение момента инерции масс на угловое ускорение равно сумме всех моментов сил, действующих на тело.
Для сплошного однородного цилиндра
где R - радиус цилиндра.
А вот момент создается одной единственной силой - силой натяжения нити T:
Момент силы равен силе умноженной на плечо. А плечом называется расстояние от линии действия силы до точки вращения. Линией действия силы называется прямая, на которой лежит вектор силы. Вот и получается, что от линии действия силы T до точки вращения барабана расстояние равно радиусу барабана.
Теперь разберемся с угловым ускорением. Угловое ускорение равно отношению касательного ускорения к радиусу:
Касательное ускорение возникает, если точка движется по окружности не с постоянной скоростью, а с ускорением, вектор которого параллелен вектору скорости. Проще говоря, если ускорение в данной точке перпендикулярно радиусу, то оно касательное ускорение (по крайней мере в этой точке). В нашем случае это ускорение той точки барабана, в которой начинается вектор силы натяжения нити (на рисунке). Перепишем уравнение вращения с новыми данными:
Сократим радиус:
Подставим полученное выражение силы натяжения нити в уравнение для груза:
Выражаем ускорение:
Ответ: a = 3,75 м/с2.