Сегодня мы разберём задание №12 из вариантов задания для ЕГЭ-2023. Это иррациональное уравнение высокого уровня сложности, которое иллюстрирует одну хитрую ловушку, которая может встретиться на ЕГЭ.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите уравнение:
Рассуждаем
Представленное уравнение – хороший пример «провокации» для совершения ошибки. Сама «провокация» - это первый и второй члены:
которые весьма похожи друг на друга.
Действительно, если во втором члене внести неизвестное в квадрате под корень, получаем:
Бинго! Во втором члене получаем выражение, которое в квадрате представляет собой первый член – после преобразования уравнение легко привести к каноническому виду квадратного уравнения.
Однако, при внесении под корень мы возводим неизвестное в квадрат (я не даром поставил знаки следования, а не равенства). В данном случае мы можем потерять минус, и ответ будет неверным!
В самом деле, построим график функции:
И график функции:
В отрицательной области графики различны! То есть, если значение неизвестной лежит в отрицательной области – мы получим ошибку! Действительно, например, если x = –3, то в первом случае мы получим отрицательное значение (-7.745...), а во втором – такое же по модулю положительное.
Что делать?
Есть два пути. Либо рассматривать отдельно положительные и отрицательные значения переменной (с введением соответствующих условий), либо отказаться вобще от внесения переменной в квадрате под знак корня.
Сделаем по второму варианту. Будет удобно обозначить подкоренное выражение дополнительной переменной, а первый член выразить через эту переменную. В результате мы получим систему уравнений, в которой не надо будет вносить неизвестную под знак корня.
В полученной системе первое уравнение будет чисто подкоренным выражением, а во втором уравнении вместо первого и второго членов получится выражение второй и первой степени соответственно. Сперва решим квадратное уравнение, чтобы найти это выражение, а потом каждый из полученных корней приравняем выражению, и решим соответствующие уравнения, окончательно получая ответы.
При этом не забудем область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку у нас переменная под знаком корня, а также в знаменателе – имеются ограничения.
План решения
- Определим ОДЗ, имея ввиду, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- Выразим подкоренное выражение через дополнительную переменную, и преобразуем исходное уравнение в систему.
- Введём временную переменную, с помощью которой приведём второе уравнение системы к каноническому квадратному.
- Найдём корни этого квадратного уравнения, и сделаем обратную подстановку.
- Используя первое уравнение из системы, окончательно находим неизвестное. При этом будет удобно ввести ещё одну временную переменную.
- Окончательно получим корни, и проверим их на соответствие ОДЗ.
Решение
Исходное уравнение:
Поскольку в уравнении имеется квадратный корень и неизвестная в знаменателе, необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ):
В числителе под корнем и в первом члене есть одинаковые выражения. Введём дополнительную переменную y, такую, чтобы максимально упростить как выражение под корнем, так и в первом члене. Наиболее удобно дополнительной переменной выразить всё подкоренное выражение:
Тогда первый член можно будет представить в виде:
В результате получим систему:
Заметим, что второе уравнение можно свести к каноническому квадратному, если ввести временную переменную:
Производим подстановку:
Откуда:
Делаем обратную подстановку:
Подставляем в полученное выражение значение y из первого уравнения:
Обе части поделим на x (мы можем это сделать, поскольку в ОДЗ не входит нулевое значение), также почленно поделим дробь под корнем:
Заметим, что часть ОДЗ счёт квадратного корня и обратной функции отпадает, и остаётся диапазон ОДЗ:
Обозначим:
Подставляем:
Возводим в квадрат:
Переносим в одну часть, переходя к каноническому квадратному уравнению:
Решаем:
Первый корень ложный, он не входит в ОДЗ.
Делаем обратную замену и получаем ответ:
Замечание
Для проверки построим график функции:
Как видим, график касается оси абсцисс только в указанной точке.
Между прочим, я сам при решении чуть не попался на эту удочку, и обнаружил ошибку, когда построил график. Откуда я очередной раз заключаю, что построение графика функций, данных в задании, очень и очень полезно для контроля правильности решения.