Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о довольно простом математическом понятии, которое, с первого взгляда, кажется достаточно странным. Действительно, в школьной математике все мы привыкли, что понятие диаметра применяется исключительно к окружностям на плоскости или сфере в трехмерном пространстве.
Но что, если я скажу Вам, что диаметр есть у любого конечного множества, под определение которого подходят все возможные геометрические фигуры. Это значит, что диаметр есть у треугольника, квадрата и вообще любой ограниченной фигуры. Итак, поехали!
Под диаметром понимается отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. На пальцах - это самый длинный отрезок, который можно "внедрить" в окружность. Это эмпирическое определение не так уж и далеко от истины по причине своей обобщенности, а математика, как Вы знаете, абстрагироваться любит и умеет.
Отрезок длиной 5, вычисленный по теореме Пифагора, - это максимальный отрезок, который можно поместить внутрь этого прямоугольного треугольника. Конечно, он будет совпадать с его гипотенузой.
Аналогичная ситуация с квадратом, здесь ничего нового. Но что, если речь идёт о какой- бесформенной фигуре:
Здесь по аналогии диаметр множества можно определить максимальной длиной стержня, который поместится в эту амебоподобную фигуру.
Здесь нас ждёт важная ремарка: говорить о таком понятии, как расстояние, можно исключительно в метрических (в т.ч. предметрических, ультраметрических и т.д.) пространствах.
Нам все эти изыски не сильно нужны, поэтому предлагаю "вариться" в обычных пространствах с эвклидовой метрикой:
Теперь мы, исходя из прошлого опыта, можем определить диаметр множества как максимальное расстояние между его точками:
Т.е. мы берем все точки точки множества S, попарно вычисляем между ними расстояния, а затем ищем максимальное из них и объявляем его диаметром множества. Просто?
Очень просто, но не до конца верно. Дело в том, что даже на обычной прямой есть множества, у которых нет таких максимальных расстояний. Для примера рассмотрим интервал:
Будем отмечать точки интервала, которые все ближе и ближе к его началу и концу, которые, как я напоминаю, не принадлежат интервалу. Сможем ли мы найти среди них максимально удаленные точки? Очевидно, что нет! При всё большем k мы будем получать все более и более удаленные друг от друга точки.
Что же нам остается, если максимального расстояния не существует? В математике это решается с помощью понятия супремума множества ( точной верхней грани), под которым понимают наименьший элемент, который равен или превосходит каждый из элементов множества.
В нашем случае супремумом множества расстояний между точками интервала будет являться длина отрезка [a,b]. Обратите внимание на занимательный факт - мы определили диаметр множества, оперируя точками, которые, строго говоря, не принадлежат исходному интервалу.
В этом особенность понятия "супремум". Супрематический элемент становится максимальным, если он сам принадлежит множеству:
Во втором случае мы можем всё ближе с помощью рациональных чисел приближаться к единице слева, но никогда её не достигнем (это задано условие строго порядка).
P.S. И, раз уж заговорили о порядке. Понятие супремума адекватно определяется как минимум для частично упорядоченных множеств, о которых я уже начала рассказывать:
- Подписывайтесь на канал! Ориентировать стало легче с введением подборок. Например, вот что я писал по абстрактной математике.