Суть статьи: возникающая у физиков так называемая «проблема космологической постоянной» (гуляющей на 120 порядков, подробно см. в википедии), вероятно, объясняется колоссальными флуктуациями (дискретного пространства-времени), которые отчасти «моделируют» колоссальные флуктуации реальных радиусов простых чисел. Ниже приводится обоснования моей гипотезы (в части "моделируют"...).
Радиус (Rк) K-го простого числа (Рк) – так мы будем называть разность между последующим простым числом (Рк+1, это просто такие индексы: К и К +1, где К = 1, 2, 3, 4, ...) и данным простым числом:
Rк ≡ Рк+1 – Рк. (1)
Зная бесконечный ряд простых чисел (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …) – несложно установить, что минимальный радиус Rmin = 1 будет только у первого простого числа Р = 2, а затем уже навсегда Rmin = 2 и так будет у всех первых простых в ряде простых чисел-близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), … (ряд также, наверняка, бесконечный).
Очевидно, что сумма всех K радиусов на отрезке [2; P] равна разности Р – 2, где K ~ P/(lnP – 1) – примерное количество простых чисел (и радиусов!) на указанном отрезке (согласно формуле Чебышёва). Значит, средний (арифметический) радиус (Rс) на указанном отрезке можно вычислить так:
Rс ~ (Р – 2)/K ~ lnP – 1 ~ lnK + lnlnK – 1, (2)
где использована довольно грубая формула теории чисел (эквивалентная формуле Чебышева и из неё полученная) для идеальных простых чисел: Рк ~ K∙lnK (монотонно растущих, без «случайных» колебаний), а аргумент K = 1, 2, 3, 4, … – это порядковый номер данного простого числа (в ряде всех простых чисел), то есть, иначе говоря, K – это счётчик простых чисел.
Используя формулу идеальных простых чисел Рк ~ K∙lnK и формулу (1), мы запишем выражение для текущего радиуса K-го простого числа:
Rк ~ (K + 1)∙ln(K + 1) – K∙lnK, (3)
а если принять (также грубоватое) допущение, что ln(K + 1) ≈ lnK + 1/K, тогда для текущего радиуса получаем предельно элементарную формулу:
Rк ~ 1 + 1/K + lnK. (4)
Сравнивая между собой формулы (2) и (4) для достаточно больших K (а, тем более, при K → ∞) можно сказать, что средний радиус (Rс) будет немного больше (на величину lnlnK) текущего радиуса идеальных простых чисел, но в первом приближении их можно полагать равными и растущими как логарифм порядкового номера (K) простого числа (Rк ~ lnK).
Рефлекция 1. В рамках числофизики параметр K = 1, 2, 3, 4, … (счётчик простых чисел) можно трактовать как счётчик квантов времени, а вот параметр Rк ~ lnK – как размер кванта пространства (идеального, то есть монотонно растущего по закону логарифма от времени). При этом размеры квантов реального пространства (как и реальные радиуса простых чисел) будут флуктуировать (случайным образом изменяться и, вообще говоря, эти размеры будут расти до бесконечности) в бесконечно расширяющемся диапазоне [см. ниже про максимально возможные радиуса (Rmax) простых чисел]. При этом первая производная (Rк)' ~ 1/K – это скорость роста кванта идеального пространства: по мере роста порядкового номера K (данного кванта) указанная скорость асимптотически устремляется к нулю (никогда его не достигая). А вторая производная (Rк)'' ~ – 1/K^2 – ускорение изменения кванта идеального пространства, это ускорение всегда имеет знак «минус» и асимптотически растет от «– 1» до нуля (никогда не достигая нуля «снизу»).
При этом любопытно следующее: если принять K ≈ 8,072∙10^60 (количество планковских времен в возрасте Вселенной, равном около 13,8 млрд лет), то тогда (Rк)'' ~ – 1/K^2 ≈ – 1,53∙10^–122, что весьма близко к ожиданию физиков-теоретиков в части космологи́ческой постоя́нной (лямбда-члену Λ):
|Λ| ≈ 2,85∙10–122 (в планковских единицах), (5)
где Λ – физический параметр, характеризующий ускоренное расширение Вселенной (самое большое открытие физиков в самом конце ХХ века), которое предполагает в простейшем случае объяснение ненулевой положительной космологической постоянной (Λ).
Максимально возможный радиус (Rmax) простого числа Рк в конце отрезка [2; Рк] согласно гипотезе Фариды Фирузбэхт (1962 – 2019) будет такой:
Rmax ≡ (Рк+1 – Рк)max = (lnРк)^2 – lnРк – 1. (6)
Эта гипотеза была выдвинута в 1982 г., а потом была проверена (очевидно на компьютерах) для всех первых простых чисел от Рк = 29 до РK= 10^19 (в сингулярности при Рк = 2, 3, 5, 7, 13, 23 гипотеза не работает). Однако указанная проверка не является доказательством гипотезы Фирузбэхт. При этом сам я случайно обнаружил следующее – разность между двух важнейших формул теории чисел содержит в знаменателе … формулу Фирузбэхт (правда, без «– 1»):
Разность ≡ P/(lnP – 1) – P/lnP = P/[(lnP )^2– lnP], (7)
и эта разность определяет количество пар простых чисел-близнецов на отрезке [2; Рк] (правда, указанную разность надо еще разделить на 1,455).
Если в формулу (6) подставить формулу идеальных простых чисел Рк ~ K∙lnK, то мы получим (для достаточно больших K) следующее выражение:
Rmax ≡ (Рк+1 – Рк)max ≈ (lnK)^2. (8)
Рефлекция 2. При этом первая производная (Rmax)' ~ 2∙lnK/K, а вторая производная (Rmax)'' ~ – 2∙lnK/K^2, то есть модуль максимально возможного ускорения будет в 2∙lnK раз больше модуля текущего ускорения [(Rк)'' ~ – 1/K^2, см. выше рефлекцию 1]. А минимально возможный радиус Rmin = 2 (у всех простых чисел-близнецов), поэтому минимально возможное ускорение (Rmin)'' = 0. Значит, при K ≈ 8,072∙10^60 (количество планковских времен в возрасте Вселенной, равном около 13,8 млрд лет), модуль реального ускорения (Rк)'' будет гулять на 120 порядков (поскольку 2∙lnK ≈ 280). Поэтому, возникающая у физиков так называемая «проблема космологической постоянной» (гуляющей на 120 порядков, см. в википедии), вероятно, также объясняется колоссальными флуктуациями (дискретного пространства-времени), которые и «моделируют» колоссальные флуктуации реальных радиусов простых чисел.
Более понятно (более "красиво") заявленная здесь тема изложена у автора "Вконтакте" по следующей ссылке: https://vk.com/doc517076230_650894407?hash=FkrbVPqOA98KOPpngFqmYnf3CKhuyjGU30J0VNzXny4&dl=SegXYCW17OSxAf1hdHC8nRBJ64ng0RxZzfItTi5tCNP
06.10.2022, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2022