Для любого простого натурального числа n, представимого в виде 4к - 1, где к целое число, существует квадрат превосходящий это простое число.
Доказательство. 3 является первым простым натуральным числом, который представим в виде 4к - 1. Действительно, для к равного единице 4к - 1 равно 3. Очевидно, 3 < 4. Предположим для достаточно большого простого числа n, представимого в виде 4к - 1, существует квадрат, превосходящий это n, а для следующего простого числа представимого в виде 4к - 1 такого квадрата не существует. Тогда по аксиоме спуска [ 1 ] и для n такого квадрата не существует, что противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
[ 1 ] Кочкарев Б. С. " К методу спуска Ферма " Проблемы современной науки и образования problem of modern science and education" 2015 №11(41), с. 7 - 10