Я из космического поколения. Того поколения, которое хотело в детстве стать космонавтами, мечтало о поселениях на Луне и Марсе, о полётах к звёздам, о технологичном будущем и читало фантастику, а не вот это всё, про драконов и средневековье.
Впрочем, речь не о ностальгии. Неожиданно я обнаружил, что на физике нам не давали расчётов параметров орбит тел, движущихся под действием гравитации, кроме, разве что, первой, второй и третьей космических скоростей. А институт был ориентирован больше на физику твёрдого тела, и, кроме веса, гравитация в расчётах нигде больше не участвовала.
И вот, когда мне понадобилось кое-что прикинуть в небесной механике, этот пробел потребовалось восполнить. Решил сделать это самостоятельно, и почему бы не поделиться этим с читателями? Сложных формул не будет.
Первым, на что было очевидным обратить внимание, стали законы Кеплера. Третий закон пока отбрасываем, он описывает соотношение параметров двух орбит, и в итоге не пригодился.
Итак, первый закон утверждает, что любое тело, чья скорость не превышает вторую космическую, движется по эллипсу. В том числе, брошенные на Земле предметы, за вычетом сопротивления воздуха, тоже движутся по эллипсу, парабола это лишь приближённая формула, которая на малых расстояниях даёт практически точный результат. Тогда почему брошенные камни падают на Землю, а, например, Луна нет? Дело в том, что гравитация (с необходимой нам точностью) действует так, как будто вся масса сосредоточена в одной точке, и если бы было так (например, мы висели бы в пространстве, а на месте Земли была бы чёрная дыра той же массы), то, продолжая траекторию камня, мы бы увидели сильно вытянутый эллипс. То есть, как в анекдоте, ему не дают вырасти - камень падает на Землю только потому, что перигей (ближайшая к центру Земли точка) его орбиты находится ниже её поверхности.
Получается, зная расстояние до перицентра (часть слова после пери- именует центральное тело на греческом языке, мы же рассматриваем орбиты вообще), мы можем сказать, будет ли тело вращаться по орбите, или пересечётся с поверхностью центрального тела.
Как же посчитать это расстояние?
Обратимся теперь ко второму закону Кеплера. Он гласит, что за одно и то же время тело на орбите заметает сектор одинаковой площади. Для равномерного движения по окружности это очевидно, для других орбит выводится.
Легко понять, что так получается потому, что скорость с увеличением расстояния до центрального тела падает и за равное время тело проходит меньший путь. Вопрос насколько, как связаны расстояния и скорости.
В общем случае, скорости по орбите, пусть и направлены по касательной, но по отношению к центру расположены под совершенно разными углами, однако замкнутые орбиты имеют минимум две точки, направление касательной в которых перпендикулярно направлению на центр (у эллипса это перицентр и апоцентр). Назовём их точками нормали.
Поскольку направление движения в этих точках перпендикулярно направлению на центр, площадь, заметаемую при движении за бесконечно малое время в точках нормали, можно считать как площадь прямоугольного треугольника, в котором малый катет равен пути, проходимому телом (доказывается это в рамках дифференциального исчисления, опустим для ясности).
При этом заметаемые площади для точек нормали должны быть равны.
Поскольку равные площади заметаются за равное ненулевое время, мы можем поделить обе части уравнения на время. Символ d означает как раз, что мы берём такое малое расстояние и такое малое время, что скорость на этом участке не успевает измениться. Поэтому отношение пути (бесконечно малого) к тому времени (бесконечно малому), за которое он пройден, будет не средней скоростью, а мгновенной скоростью, скоростью именно в данной точке.
Получилось простое выражение, что скорости точках нормали обратно пропорциональны соответствующим расстояниям. Удивительно простое соотношение, которое не зависит от формы траектории орбиты (мы не использовали форму орбиты при выводе).
Но самое интересное, можно показать, что векторная форма этого соотношения верна для любой точки орбиты любой формы, если действует второй закон Кеплера
и является ничем иным, как строгой математической записью второго закона Кеплера, который, в свою очередь, ничто иное, как одна из первых формулировок закона сохранения момента импульса для движения одного тела, но я обещал обойтись без сложных формул, поэтому доказывать это здесь не будем.
Но то же самое соотношение можно получить иначе, если воспользоваться не вторым законом Кеплера, а законом всемирного тяготения Ньютона для эллипса.
Что заставляет тело двигаться по эллипсу? Центростремительное ускорение, создаваемое притяжением центрального тела. Практически во всех точках эллипса направления скорости и ускорения не перпендикулярны, и формулы, связывающие их, посложнее, а вот в точках апсид направления скорости и ускорения перпендикулярны, и можно пользоваться уравнениями движения по окружности.
Чем больше ускорение, тем более изогнутой является траектория, и характеристикой изогнутости такой траектории является радиус кривизны - радиус окружности, являющейся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. У прямой радиус кривизны бесконечен, а у окружности равен радиусу окружности во всех точках.
Из симметрии эллипса следует, что радиусы кривизны в апоцентре и перицентре равны, и рассматривая малые движения можно считать, что движение происходит по окружности с радиусом кривизны. А связь радиуса, скорости и ускорения в этом случае хорошо известны:
Осталось выписать гравитационное ускорение по закону всемирного тяготения, подставить его в наше выражение и сократить:
Получилось то же самое! Собственно, мы таким образом в лёгкой форме, не строго, доказали, что движение под воздействием закона всемирного тяготения осуществляется по эллипсу, так как, взяв эллипс и гравитацию, мы получили закон сохранения момента импульса, если же мы возьмём гравитацию и закон сохранения момента импульса мы получим эллипс.
Ньютон в своё время имел в своём распоряжении эллипс и закон сохранения момента импульса (в виде второго закона Кеплера), и простейшая зависимость, которая удовлетворяет этим экспериментальным фактам, стала законом всемирного тяготения. Как мы сейчас знаем, более точная зависимость в сильных полях заметно сложнее.
Естественно, из полученной формулы, если известны три переменных из выражения, мы можем получить четвёртую. Но такого на практике не бывает, неизвестных обычно две, и необходимо ещё одно уравнение, чтобы эту неопределённость раскрыть.
И тут полезно снова вернуться к выражению для радиуса кривизны - из геометрии связь радиуса кривизны и расстояния до фокуса хорошо известна и характеризует отличие орбиты от окружности (для окружности эти величины равны во всех точках). Математически это выражается таким понятием, как эксцентриситет:
Выражая радиус кривизны через скорость и ускорение и, следовательно, через массу центрального тела (ранее мы приводили уже эту формулу), мы можем однозначно связать между собой расстояния до перицентра и апоцентра.
Физическая интерпретация такая: ускорение в апсиде создаёт определённую кривизну траектории в связке со скоростью, и, если радиус этой кривизны больше расстояния до центра, значит тело движется менее круто, чем окружность, и уходит шире, по большему радиусу, это перицентр; если радиус этой кривизны меньше расстояния, вращающееся тело увлекается круче, чем окружность, траектория уходит внутрь, это апоцентр.
Естественно надо проверить полученные формулы, например, посчитаем, при какой скорости в перицентре орбита станет параболической, то есть эксцентриситет станет равным единице
Мы ожидаемо получили выражение для второй космической скорости, что свидетельствует о том, что мы не ошиблись в выводах.
Теперь можем порешать практические задачи. Например,
Третья ступень ракеты прекращает работу на высоте 100 км от поверхности Земли. С какой орбитальной скоростью (тангенциальной) должен двигаться после отстыковки космический аппарат, чтобы в апогее достичь высоты в 400 км, и с какой скоростью он будет при этом двигаться? На сколько ему надо скорректировать скорость в апогее, чтобы перейти на круговую орбиту на этой высоте?
Радиус Земли – 6 371 302 м
Перигей, +100 км – 6 471 302 м
Апогей, +400 км – 6 771 302 м
Масса Земли – 5,9722 × 10²⁴ кг
Гравитационная постоянная – 6,674 3015×10⁻¹¹ м³·кг⁻¹·с⁻²
GM = 5,9722 × 10²⁴ * 6,674 3015×10⁻¹¹ = 3,986026×10⁻¹⁴ м³·с⁻²
Скорость в перигее должна быть 7936,67 м/с (больше круговой – 7848,27 м/с), чтобы корабль поднялся на высоту 400 км, и там он будет иметь скорость 7585,04 м/с, что меньше круговой на этой высоте – 7672,45 м/с, и необходимо будет в апогее увеличить скорость на 87,41 м/с (314,7 км/ч), чтобы остаться на этой высоте. Остаётся «всего лишь» рассчитать параметры работы двигателей :).
На стационарной орбите вокруг Марса вращается станция, которая запускает зонд в обратном направлении к вращению со скоростью 675мс⁻¹ относительно станции. На какой высоте над поверхностью Марса пролетит зонд и какую скорость будет иметь в нижней точке траектории?
Радиус Марса – 3 389 500 м
Масса Марса – 6,4171 × 10²³ кг
GM = 4,28296601013 м³с⁻²
Длительность сидерических суток – 24,6229 ч
Найдём высоту и скорость стационарной орбиты. Её период 24,6229 ч, то есть 88 642,44 с, угловая скорость:
Определим радиус через ускорение
Радиус стационарной орбиты равен 2,042785 × 10⁷ м (~20 тысяч км).
Скорость стационарной орбиты
Начальная скорость зонда ~772,97 м∕с.
Ищем расстояние до периария:
Минимальная высота пролёта над поверхностью Марса примерно 4885 м.
Скорость в периарии 4651,86 м/с.
----------------------------------------
Конечно, это не всё. В своих расчётах мы не рассматривали время движения по орбите, не выводили общих формул для произвольных точек орбиты, не учитывали влияние третьих тел. Но это потребовало бы ещё больше текста и ещё больше сложных формул. А мне кажется, что и вам и особенно мне пока хватит.