Этот цикл статей будет интересен тем, кто готовится к ЕГЭ и к олимпиадам по математике.
Полезным навыком как при решении задач с параметром, так и при решении уравнений и неравенств, будет преобразование формул. Чтобы быстро и грамотно преобразовывать алгебраические выражения недостаточно просто зазубрить 100 формул из шпаргалки! Нужно понимать, откуда эти формулы взять, а также уметь их выводить.
Начнём с моей любимой формулы: косинус суммы.
Нам понадобится вспомнить действия над векторами, а именно скалярное произведение.
Скалярное произведение - операция над двумя векторами. Результат является числом и от системы координат не зависит. (Более подробно рассмотрим в одной из следующих статей)
Скалярное произведение может быть найдено как сумма произведений соответствующих координат двух векторов, либо как произведение длин этих векторов и косинуса угла между ними.
Получается, чтобы найти косинус угла между векторами, необходимо скалярное произведение разделить на произведение длин этих векторов.
Теперь рассмотрим единичную окружность. Из рисунка следует, что угол между векторами a и b равен (α-β). На единичной окружности х-координатой вектора a будет являться косинус угла α, а y-координатой - синус угла α. Аналогично для вектора b.
Длины векторов равны 1, так как окружность единичная.
Получается, что можно выразить косинус разности через скалярное произведение векторов:
Получаем формулу косинуса разности. Что и требовалось доказать :)