Вот забавная головоломка: насколько большой должна быть случайная группа людей, чтобы вероятность того, что хотя бы у двоих из них будет общий день рождения, составляла 50%? Ответ — 23, что удивляет многих. Как такое возможно?
Размышляя над этим вопросом, известным в статистике как «проблема дня рождения» или «парадокс дня рождения», многие интуитивно называют число 183, поскольку это половина всех возможных дней рождения, учитывая, что в году 365 дней. К сожалению, интуиция часто плохо справляется с такого рода задачами.
«Я люблю такие задачи, потому что они иллюстрируют, как плохо люди оценивают вероятности, что приводит к принятию неверных решений или неправильным выводам, — говорит Джим Фрост, статистик, написавший три книги о статистике и регулярно ведущий колонку в Статистическом дайджесте Американского общества качества. — Кроме того, они показывают, насколько полезной может быть математика для улучшения нашей жизни. Поэтому контринтуитивные ответы на эти задачи не только забавны, но также и полезны».
Чтобы вычислить ответ на задачу о дне рождения, Фрост начал с нескольких предположений. Во-первых, он не учитывал високосные годы, поскольку это упрощает математику и не сильно меняет результаты. Он также предположил, что все дни рождения имеют равные шансы на наступление.
Если вы начнете с группы из двух человек, то вероятность того, что дни рождения у них в разные дни, равна 364/365. Таким образом, вероятность того, что у них общий день рождения, равна 1-364/365 или 0,27%.
Если предположить, что группа состоит из трех человек, то вероятность того, что у одного человека день рождения не в тот день, в который он у двух других, равна 363/365. Таким образом, вероятность того, что все они имеют общий день рождения, равна 1-364/365*363/365, или вероятность около 0,82%.
Чем больше людей в группе, тем больше шансов, что хотя бы у пары человек будет общий день рождения. При количестве 23 человека вероятность составляет 50,73%, отметил Фрост. При количестве 57 человек вероятность составляет 99%.
«Я получал сообщения от преподавателей статистики в колледжах, которые спорят со студентами на 20 долларов на то, что два человека в группе будут иметь общий день рождения, — рассказывает Фрост. — Учитывая правильно вычисленную вероятность, они знают, что победа практически обеспечена. И каждый семестр студенты, уверенные в своей правоте, продолжают охотно спорить и проигрывать! К счастью, преподаватели возвращают деньги изумленным студентам, а затем учат их, как считать правильно».
Может быть несколько причин, по которым правильный ответ кажется контринтуитивным. Одна из них заключается в том, что люди бессознательно подсчитывают шансы на то, что у кого-то другого в группе есть день рождения в один день с ними, в отличие от фактического вопроса, который заключается в том, есть ли хотя бы у двух людей в группе день рождения в один день.
«Во-вторых, я думаю, что они также исходят из того, что в году 365 дней, поэтому для 50% вероятности нужно 182,5 человека, — говорит Фрост, — но самое главное, они значительно недооценивают то, как быстро вероятность возрастает с увеличением размера группы. Количество возможных пар увеличивается экспоненциально с ростом размера группы. А люди очень плохо себя проявляют, когда дело доходит до экспоненциального роста».
Проблема дня рождения концептуально связана с проблемой экспоненциального роста. «Предположим, что за какую-то услугу клиент предлагает вам расплатиться по схеме 1 цент в первый день, 2 — во второй, 4 — в третий, 8 — в четвертый. Хорошая ли это сделка? Большинство людей считают, что это плохая сделка, но благодаря экспоненциальному росту на 30-й день у вас будет 10,7 миллиона долларов», — рассказывает Фрост.