Привет.
Сегодня поговорим о том, что такое система координат и рассмотрим некоторые их разновидности.
Не редко у людей случаются споры по той или иной причине: рассмотрение какого-то политического конфликта, занял чужое место в холодильнике и т.д.. Часто, бывает, говорят такую фразу: "в моей системе координат это так", - подразумевая свое мнение по той или иной ситуации. Однако, первоначально это понятие исходит далеко не из таких бытовых тем. Первоначальный смысл этого понятия дает математика.
Ранее в статье про функции мы поверхностно касались этого понятия, так сказать, с "понятийно-практической" точки зрения. То есть, там говорилось, что это вещь, которая позволяет нам задавать и определять положение чего-то. По сути, это дает понимание, что такое система координат. Но давайте разберем некоторые основные понятия, связанные с ней, рассмотрим основные составляющие.
Допустим, у нас имеется прямая. Однако, в таком виде, без обозначений, размерностей и т.д. она не имеет смысла для нас, бесполезна. Есть прямая, но никак ее не использовать. Поэтому давайте на ней отметим вектор, который будет задавать направление движения вдоль такой прямой, а также, его длина будет служить мерой длины на такой прямой, задавать единичное расстояние. Такой вектор называется единичным. Он, так сказать, будет предавать нашей прямой смысл.
Однако, одной прямой нам не достаточно для определения положения точки в пространстве. Поэтому, допустим, давайте проведем еще одну прямую, не обязательно перпендикулярную нашей. На ней также отметим единичный вектор. Для это прямой этот вектор будет свой, он может быть равным по длине, но обязательно будет отличаться по направлению.
Так вот, теперь мы имеем две прямые, которые обладают своими задающими направлениями и размерностями. Мы получили систему координат на плоскости, двумерная система координат. Ранее у нас была координатная прямая, которая является одномерной системой координат, называется координатной прямой.
Совокупность таких векторов называется базисом - набором векторов, через которые можно представить любое направление единственным образом в виде линейной комбинации этих единичных векторов. Также такие единичные вектора, которые составляют базис называются базисными векторами.
Что это значит? Допустим, у нас есть какая-то точка. Всякую такую точку можно представить в виде вектора с началом в центре координат и концом в нашей точке. Так вот, координаты этой точки мы можем выразить в виде суммы какого-то числа одного и другого единичного векторов, причем эта сумма будет единственна:
Также это можно записать привычным нам образом:
В случае, когда у нас базис из совокупности наших базисных векторов получается, то говорят, что эта совокупность линейно независима, то есть через нее можно выразить другие вектора. Однако, если эта совокупность сама выражается через какой-то другой базис, что такая совокупность векторов называется линейно зависимой.
Таких систем координат можно придумать большое множество. И в каждой системе вектор будет иметь свое соотношение базисных векторов (свои координаты). То есть, возвращаясь к цитате, которую мы все используем в обиходе, становится ясно, что просто этот вопрос линейно зависим, то есть многогранен.
Далее рассмотрим системы координат, наиболее часто используемые в математике:
1) Декартова система координат - система координат, в которой базисные вектора перпендикулярны друг другу:
Все вы сталкивались с ней при решении задач, исследований функций. Она вам очень хорошо известна.
2) Полярная система координат - система координат, в которой координатами являются радиус и угол поворота вокруг центра координат:
Она также очень часто применяется для представления каких-то результатов, для каких-то расчетов.
Также существуют соотношения для перехода из декартовой системы в полярную и наоборот:
3) Цилиндрическая система координат - система координат, которая также, как и полярная имеет в качестве координат радиус и угол поворота относительно оси цилиндра, а также в качестве третьей координаты - координату z - высоту цилиндра:
Также используется для расчетов и изображения результатов задач. Имеет следующие соотношения для перехода из декартовой системы в цилиндрическую и наоборот:
4) Сферическая система координат - система координат, которая в качестве координат имеет радиус - расстояние до нашей точки, а также радиальный угол - угол поворота вокруг начала координат в опорной плоскости и азимутальный угол - угол между радиус - вектором и проекцией радиус- вектора на опорную плоскость:
Также имеются соотношения для перехода из нее в декартову систему и наоборот:
Сегодня мы познакомились с понятием системы координат, а также узнали некоторые новые системы координат. Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, пишите свои комментарии. Также предлагайте темы для будущих разборов.
Пока.
#школа #егэ #егэ2023 #школьникам #студентам #системакоординат #математика #образование #интересно