О чем речь?
Всем привет! С сегодняшнего дня вам не придется доставать калькулятор, чтобы посчитать сумму покупок в магазине. Все потому что вы узнаете навыки быстрого счета, которые упростят вашу жизнь. Сам я часто использую эти навыки почти каждый день, и они очень сильно экономят время! Не успели другие достать калькулятор, а вы уже говорите правильный ответ. К сожалению, эти уловки редко рассказывают в школе, поэтому немногие о них знают.
Свои рассуждения я буду строить по принципу учимся-объясняем. Сначала я объясняю сам навык, а затем рассказываю, почему он работает. Если вам неинтересны доказательства, то можете верить на слово и просто использовать навыки)
1. Умножение на 11
Учимся
Довольно популярный трюк. Что вам нужно сделать? Разберем на примере. Скажем, вам нужно умножить число 43 на 11.
1. Сложите первую цифру числа с последней: 4+3=7
2. Поместите эту цифру посередине между начальными цифрами: 473
Все просто, неправда ли? Есть один особый момент, когда сумма цифр больше 10. Рассмотрим такой пример: число 98
Сделаем все по порядку:
Первый шаг: складываем первую цифру с последней 9+8=17
На втором шаге возникает вопрос. Явно нельзя записать ответ в виде 9178 - получится многовато. Сделайте вот что: единицу добавьте к десяткам, а число 7 запишите между цифр, как и договаривались. Получим 1078. Попробуйте сами взять любое другое двузначное число и умножить его на 11.
Объясняем
Давайте умножим столбиком любое двузначное число на 11. Пусть 76.
2. Умножение двузначных чисел на однозначное и двузначное
Учимся
I. Умножение двузначного числа на однозначное
Очень полезный навык! Предположим, вам нужно купить 6 ручек, и каждая стоит 39 рублей. Сколько денег вы потратите?
Умножим 39 на 6.
1. Представим 39 как 30 + 9
2. Умножим 30 на 6: 30*6 = 180
3. Умножим 9 на 6: 9*6 = 54
4. Сложим эти 2 числа: 180+54=234
Итак, на покупку вы потратите 234 рубля.
II. Умножение двузначного числа на двузначное
Ручек вы купили достаточно, а вот карандашей... Ни одного не осталось. Поэтому вы решаете купить целых 16, чтобы на всю жизнь. Они стоят 29 рублей за штуку. Посчитаем сумму вашей покупки, то есть умножим 29 на 16.
1. Выбираем любое число из этих двух. Я выберу 16
2. Представляем его в виде суммы 10+6
3. Умножаем 29 на 10: 29*10 = 290
4. Умножаем 29 на 6: 29*6 = 174 Это мы уже умеем делать.
5. Складываем результаты из шагов 3 и 4. 290+174 = 364
364 рубля - вот во сколько вам обошлись карандаши.
Объясняем
Оба этих трюка работают благодаря распределительному свойству умножения. Вот в чем оно заключается: (a+b)*c = ac + bc. Все очень просто!
3. Возведение в квадрат
Учимся
I.Если вам дают любое двузначное число, оканчивающееся на 5, то вы возведете его в квадрат без труда. Единственное, что вам потребуется - это таблица умножения. Покажу на примере: возведем число 65 в квадрат. Что нужно для этого сделать?
1. Отбрасываем пятерку и умножаем оставшееся число на следующее по порядку: 6*7=42
2. Дописываем 25: 4225
Вот и все! Это работает и с трёхзначными, и с четырехзначными числами, только вычисления получатся более сложными.
Кстати, похожий трюк можно провернуть при умножении любых двузначных чисел, которые начинаются с одной цифры, а вторые цифры в сумме дают 10. Например, 76 и 74. только вместо 25 вы пишете произведение последних цифр чисел(в этом случае 6*4=24). И результат будет 5624.
II.Теперь посмотрим, как возвести в квадрат любое другое число. Сейчас будет много действий, но все они несложные. Чем больше вы будете практиковаться, тем быстрее сможете решать такие примеры в голове. Вот пример: возвести в квадрат число 57.
1. Округляем число до ближайшего круглого числа: 60
2. Вычитаем большее число из меньшего: 60-57 = 3
3. Чтобы из 57 получить 60 мы прибавили 3, а теперь отнимем число 3: 57-3 = 54
4. Перемножим числа из 1 и 3 шага: 54*60 = 3240. Упростить такое вычисление можно, умножив 54 на 6 и приписав 0.
5. Возведем разницу чисел из шага 2 в квадрат и прибавим к результату: 3240+3^2 = 3249.
Кстати, можно округлять не только "вверх", но и "вниз". То есть число 71 округлим до 70(шаг 1) и получим разницу 1(2 шаг). Тогда в третьем шаге мы прибавим 1 к 71. Объяснение этому в следующем параграфе)
Здесь необходима тренировка. Но поверьте мне, оно того стоит. Скажем, у вас участок квадратной формы 39 на 39 метров. И вам нужно быстро посчитать его площадь. 1, 2, 3, 4, 5 - вуаля! Площадь участка 1720 м^2 или 17,2 сотки.
Объясняем
I.Замечание: любое число оканчивающееся на 5, умноженное на 5 также оканчивается на 5. Отбросим последнюю цифру 5. Возможны 2 варианта развития событий:
1. Получившееся число нечетное. К примеру, возведем 75 в квадрат столбиком:
Черным цветом в результате я отметил цифры, которые не зависят от начального числа, а синим - те, которые зависят от него. Всегда число у нас оканчивается на 5.
Идем по порядку: 5*5=25. 5 пишем, 2 запоминаем. Это в любом случае так. Умножаем 7 на 5. Так как число у нас начинается с нечетного числа, то результат оканчивается на 5. Вместо 7 может быть и 5, и 3, и 15, и 29. Вне зависимости от этого, умножив его на 5, получим 5 на конце. С первой строчкой разобрались.
Теперь со второй разберемся. Аналогичная история - умножаем 5*7. Такое же объяснение, и поэтому также всегда это число окончится на 5.
Во втором столбике 5+5 дает 10. Но не забудем про число 2, которое мы запомнили, поэтому получим 12. 2 пишем, 1 запоминаем. И в конце мы получили 25. Теперь рассмотрим другой случай.
2. Отбросили последнюю цифру 5, а число получилось четное. Посмотрим на примере числа 45.
Те же рассуждения и обозначения. Только одно поменялось: четные числа при умножении на 5 оканчиваются на 0. То есть 4*5 и 5*4 оканчиваются на 0. Вместо 4 можно подставить и 6, и 36 и 52.
Получаем, что число 25 в конце не зависит от начального числа.
II.А вот доказательство метода возведения в квадрат произвольного числа. Для него нам потребуется всего одна школьная формула сокращенного умножения: a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
Пусть число, которое мы возводим в квадрат это а, а число, на которое оно отличается от круглого числа - s. Вот, что мы сделали: (a+s)(a-s)+s^2. Просто применим формулу и получим: (a+s)(a-s)+s^2 = a^2 - s^2 + s^2 = a^2. Красота!
Если же мы округляем "вниз"То получим не (a+s)(a-s), но (a-s)(a+s), что является тем же самым. От перестановки мест множителей произведение не меняется! Коммутативное свойство умножения во всей красе.
Заключение
Надеюсь ваши мозги еще не сварились) Вот вам домашнее задание, чтобы укрепить то, что вы сегодня узнали. Решайте устно!
1. В школьном классе из 30 человек 13 мальчиков. Грядет 8 марта и каждой девочке мальчики хотят подарить по 7 тюльпанов. Сколько тюльпанов необходимо купить?
2. Сергей купил 2 земельных участка. Оба они квадратной формы, только один размером 16*16 метров, а другой 51*51 метр. Тем временем его друг Аркадий купил участок размером 35*35 метров. Друзья решили поспорить на 2 кг картофеля, у кого же суммарная площадь участков больше? Разрешите спор друзей.
В таких примерах очень важна практика. Поначалу вам будет тяжеловато, но не сдавайтесь! Чем больше вы будете использовать эти навыки, тем быстрее сможете считать.
Если вам понравилась эта статья, ставьте лайк и подписывайтесь на канал Mathemagic. По количеству лайков я пойму, делать вторую часть или нет. Новые статьи каждую неделю! Делитесь статьей с вашими друзьями и родственниками. Пишите ваши вопросы и отзывы в комментарии.