Коллега прислал мне подарочные задачи Математической вертикали для 8 класса (май 2021). Этих задач я раньше не видел, поэтому с удовольствием отвлёкся от политических заметок на моём канале и занялся их решением. Название «подарочные» используется потому, что учащиеся, раньше других справившиеся с задачами контроля, получают эти задачи для решения с оцениванием успехов в их решении без всякой связи с контролем. Вот эти задачи. Давайте разберём их поучительные решения.
На рисунке изображена большая окружность — около неё описан четырёхугольник ABCD. Две окружности вписаны в треугольники ABC и ACD. K, M, N и X, Y, Z — точки касания сторон треугольников двух вписанных в них окружностей. Требуется доказать, что точки касания X и K совпадают. Меньшая окружность изображена с небольшим искажением, чтобы на рисунке эти точки не совпадали.
Применим метод введения дополнительных неизвестных, то есть обозначим длины отрезков буквами, при этом не ставим задачи найти значения этих букв (это и невозможно в условиях задачи 14):
AM = AK = a, BM = BN = b, CK = CN = c,
CX = CY = d, DY = DZ = e, AZ = AX = f.
По свойству описанного четырёхугольника имеем верное равенство:
a + b + e +d = b + c + f + e,
или
a + d = c + f. (1)
Длину диагонали можно выразить двумя способами, это даёт равенство:
a + c = f + d. (2)
Сложив равенства (1) и (2), после преобразования получим: a = f.
Это означает, что отрезки AK и AX равны, значит, точки K и X касания двух окружностей диагонали AC совпадают, что и требовалось доказать.
Сначала отметим, что в данном случае рёбра графа — это отрезки, вершины графа — концы этих отрезков.
Сначала обходом вершин большого пятиугольника убедимся, что двух букв недостаточно (рис. 1).
Затем, приведём какую-нибудь расстановку трёх различных букв (рис. 2).
Итак, в вершинах графа расставлены три различные буквы согласно условиям задачи, уменьшить число различных букв невозможно.