Множество натуральных чисел подразделяется на множество простых чисел и составных.
Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число n.
Из четных чисел имеется только одно простое число 2, так как у 2 имеется только два делителя 1 и само число 2. Таким образом, все остальные простые числа являются нечетными. Закономерностями образования простых чисел интересовались математики, начиная с Евклида. Евклид был первым, который доказал, что простых чисел бесконечно много. Мы обобщили этот результат и доказали, что бесконечно много простых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7 и 9. Более того, мы доказали, что бесконечно много простых чисел близнецов, оканчивающихся на 1, 3; на 7, 9 и на 9, 1. Если множество всех натуральных чисел разобьем на классы, смотря по тому, какой остаток при делении натурального числа на 4 получается, то получим четыре класса натуральных чисел. В один класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 0, в другой класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1, в третий класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 и, наконец, в четвертый класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все нечетные числа и нечетные простые числа окажутся во втором и четвертом классах. Во втором классе окажутся все простые числа, которые являются суммами двух квадратов, а в четвертом классе окажутся простые числа, которые никогда не будут суммами двух квадратов. Мы эти утверждения доказали в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы".