Всем добрый день, дорогие любители математики! Сегодня начинаем новый цикл задач, а именно — разбор задач с олимпиады "Физтех". Итак, задача номер один:
Сразу бросается в глаза корень — он страшный, но одинаковый в обоих уравнениях. Давайте вычтем из второго первое уравнение:
Улов небольшой, но, кажется, важный. Что видно еще? Под корнем разность квадратов. Разложим:
В каждом корне есть множитель, значение которого мы знаем, давайте подставим:
Отлично! А корень из -64 мы вполне можем извлечь:
На этом моменте главное не оплошать. Мы уравнения вычитали? Вычитали! Давайте сложим:
Тут уже все просто, замена переменной нас спасет:
Получится уравнение:
Стоит немного подумать и сразу будет ясен корень:
Чтобы найти остальные корни — вынесем множитель (t - 2) за скобки. Это можно сделать различными способами — остановимся на группировке слагаемых:
Первые два слагаемых это разность кубов, из следующих двух можно вынести восемь:
Выносим общий множитель:
Найдем корни второго множителя:
Если глаз наметан — сразу скажете, что их нет:
Итак, у нас один корень уравнения, сделаем обратную замену:
Возведем обе части в третью степень и вспомним про еще одно уравнение из самого начала. Запишем систему:
Сложив уравнения получим значение переменной y:
Подставим в любое из уравнений, найдем x:
Итак, наш ответ:
Задача решена! На мой взгляд, задача очень красивая и приятная. В меру сложная, в меру простая. Надеюсь, Вам тоже понравилась. Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть вторую задачу этой олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!