Он появился на свет 24 сентября 1941 года в селе Рейнсфельд Куйбышевской области. Отец будущего актёра был военным и семье приходилось часто менять место жительства — детские годы Игоря прошли в городе Измаиле под Одессой, а в школу он пошёл уже в Таллине. Именно здесь мальчик попал в театральный кружок под руководством актёра местного драмтеатра Ивана Россомахина и загорелся мечтой стать артистом.
Родители к решению сына поступать в театральный отнеслись по-разному: мать до последнего надеялась, что Игорь последует примеру старшего брата и подаст документы в политехнический институт, а вот отец против сцены не возражал. В результате Ясулович рванул в столицу штурмовать театральные вузы. В ГИТИС долговязого и худощавого юношу не приняли, зато ему с первой попытки открылись двери ВГИКа.
Получив диплом, начинающий актёр с нестандартными параметрами был принят в труппу Экспериментального театра-студии пантомимы. Его внешность и пластика отлично подходили для создания ярких образов на сцене даже без слов. Однако сам Игорь мечтал о настоящих ролях — с глубокими монологами и сложной драматургией. Лучшим способом проявить свой талант Ясулович считал съёмки в кино — он дебютировал на экране ещё студентом, сыграв физика в ленте своего учителя Михаила Ромма «Девять дней одного года». Тогда Игорь стал единственным студентом, которого знаменитый педагог удостоил чести появиться в своей картине.
После успешного дебюта Игорь Ясулович не сходил с экранов. Его фильмография насчитывает уже две сотни картин и продолжает пополняться до сих пор. Правда актёру достаются в основном эпизоды, но для него не существует незначительных ролей. Ясулович предстал в фильмах «Бриллиантовая рука», «Щит и меч», «Золотой телёнок», а после роли Щукина в комедии «12 стульев» коллеги в шутку прозвали актёра «пионером советской эротики» — он не постеснялся несколько дублей сниматься в мыльной пене, которая таяла прямо на глазах.
Уже имея за плечами солидный съёмочный опыт, Игорь Ясулович решил попробовать себя в режиссуре. В середине 70-х он окончил режиссёрский факультет ВГИКа и снял три картины — «Каждый мечтает о собаке», «Пропал и нашёлся», «Здравствуй, река!», но вскоре вернулся к актёрству. Особенно востребован оказался голос Ясуловича — в качестве актёра дубляжа он озвучил множество фильмов. Его голосом говорит Арамис во всех фильмах про мушкетёров и именно ему принадлежит голос «обвинителя» на пластинке в детективе «Десять негритят».
В отличие от многих коллег по актёрскому цеху Игорь Ясулович оказался однолюбом — женился один раз и на всю оставшуюся жизнь. Его избранницей стала дочь режиссёра Юрия Егорова — Наталья отучилась на искусствоведа в МГУ и преподавала в Школе-студии МХАТ. В браке на свет появился сын Алексей — он пошёл по стопам знаменитого отца, стал актёром и режиссёром. К слову, сам Игорь Ясулович с особой симпатией относится к продолжателям знаменитых творческих династий. На свои курсы в ГИТИСе и во ВГИКе он с радостью принимает детей знаменитых актёров, которые с ранних лет познают все плюсы и минусы закулисного мира.
В прошлом году Игорь Ясулович отметил своё 80-летие, но, несмотря на почтенный возраст, продолжает радовать поклонников новыми ролями. Актёр занимает активную гражданскую позицию, выступает на правозащитных и благотворительных митингах и нередко участвует в оппозиционных акциях. Вместе с семьёй Ясулович живёт в подмосковном таунхаусе и много времени проводит с внучками Верой и Глафирой — старшая уже отучилась на продюсера в ГИТИСе, а у младшей, по словам знаменитого дедушки, большой творческий потенциал.