Алгебра в 11 классе начинает с очень большой и не всегда понятной темы - тригонометрия
Далеко не всем она становится понятна сразу же и у многих возникают с ней проблемы. А с учетом того, что вторая часть начинается с тригонометрического уравнения, умение решать их очень важно т.к. оно дает целых 2 первичных балла (за всю первую часть вы можете получить 11 первичных баллов)
Поэтому давайте разбираться что у нас и почему
Начнем с того, а что это вообще за штуки такие, тригонометрические функции
Тригонометрические функции - элементарные функции, возникшие при рассмотрении прямоугольных треугольников и соотношений их сторон
Как мы видим, все пошло от обычных треугольников и, казалось бы, ничего не предвещало беды, но нет. После длительных наблюдений, вычислений и преобразований человеку открылся огромный мир тригонометрических функций, которые не только связывают катеты в треугольнике, но и помогают описать огромное количество процессов, начиная звуковыми волнами и заканчивая электроникой любого масштаба. Ни в одной из областей техники не обходится без этих злосчастных трех букв
Теперь давайте зададим треугольник и посмотрим как именно задаются функции и какие они вообще есть
Но перед этим еще небольшой момент. Нам потребуются следующие понятия - прилежащий и противолежащий катет
Катет называется прилежащим к углу, если данный катет вместе с гипотенузой образуют данный угол
Катет называется противолежащим, если лежит напротив данного угла
После того, как мы задали катеты, определились с их названиями и знаем что есть что, перейдём к непосредственному заданию функций
Мы будем иметь дело только с 4-мя функциями и чуть позже познакомимся и с их обратными собратьями. А после того, как вы поступите в универ, то вам откроется мир комплексных чисел, где будет еще 4 новых функции (на самом деле отличие небольшое) и так их обратные
В данном треугольнике возьмём в рассмотрение угол ∠ АВС. Для данного угла прилежащим катетом будет катет ВС, а противолежащим будет катет АС
Основными функциями являются sin и cos, остальные две по возможности выражаются через первые и поэтому давайте немного поработаем с ними
Выразим катеты АС и ВС через sin и cos и после запишем для этих катетов теорему Пифагора
Мы с вами получили, что сумма квадратов sin и cos равняется 1 и, при этом, это будет справедливо для любых углов
Данное соотношение называется основным тригонометрическим тождеством
Основное тригонометрическое тождество - сумма квадратов sin и cos любого равного угла равняется единице
Теперь давайте посмотрим на связь tg и ctg с sin/cos
Запишем все для тангенса. Умножим числитель и знаменатель на гипотенузу треугольника AB и заметим, что у нас вырисовываются sin и cos. Чтобы получить их в полной форме, то вторую дробь перевернём и получим, что tg равняется отношению sin к cos данного угла
Для котангенса все рассуждения аналогичны, но там все будет перевернуто
Отлично, задали с вам tg и ctg, но проблема, они связаны сразу же с sin и cos и встаёт вопрос, а можно ли как-то выразить их через одну из этих функций? К вашему счастью, можно