Как вы помните, прошедший в мае uAnalytiCon-2022 был посвящён абстрактным объектам. Обычно они противопоставляются конкретным объектам. Считается, что конкретные объекты как бы более определённые (например, обладают некоторой представимой формой) и скорее доступны для обычных органов чувств (как известно, К. Гёдель считал математическую интуицию чем-то типа особой чувственной способности, позволяющей познавать абстрактные математические объекты), находятся в пространстве и времени. Можно задаться вопросом о том, существует ли какой-то, говоря метафорически, мост между абстрактным и конкретным.
Например, Ч. Парсонс в статье «Структуралисткий взгляд на математические объекты» полагает, что существует. Такие промежуточные объекты он называет квазиконкретными и относит к ним «геометрические фигуры (в их традиционном понимании), символы, чьими токенами являются физические произнесения или надписи, и, возможно, множества или последовательности конкретных объектов». Квазиконкретные объекты, таким образом, могут быть напрямую реализованы или представлены в виде конкретных объектов. И для квазиконкретных, и для конкретных объектов структуралистский подход, когда природа или сущность объекта целиком заменяется его отношениями в некоторой структуре, не работает. Такую структурную интерпретацию могут иметь, по его мнению, только чистые абстрактные объекты. Кажется, что последовательность «чистые абстрактные объекты -> квазиконкретные объекты -> конкретные объекты» представляет собой движение от чего-то ускользающего, эфемерного и туманного к чему-то более реальному и твёрдому. Конечно, эталоном чистых абстрактных объектов являются числа и чистые множества.
Однако не всё так просто. Например, математик В. А. Успенский в книге «Апология математики, или О математике как части духовной культуры», обсуждая абстрактность, замечает следующее: «[А]бстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как электрон, протон и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда (который работал на механико-математическом факультете Московского университета) одним из участников: "Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?"». Вдумайтесь в это словосочетание — «реальный математический смысл». Что более абстрактно, математика или, допустим, физика? Вот такой интересный вопрос.