- Теория, и в конце - разбор из ЕГЭ
Я уже однажды писал о функции здесь (>>), и о том, что зря мы этого слова боимся. А теперь давайте поговорим о "производной", которая полностью называется "производная функции". Снова функция! И снова все проще, чем кажется :)
Производная - значит "выводимая" по определенному закону. Но сделать из одной функции другую можно многими разными способами. Однако "производной", о которой мы говорим, называют то, что выводится единственным способом. И чтобы понять, в чем тут суть, нужно обратиться к истории математического анализа.
С развитием математики функции усложнялись, постоянно исследовать их графически было уже не так просто, а при этом было большое желание, используя формулу, узнать не только то, каково значение функции в любой точке, но также и то каково ее поведение! Плюс узнать в целом общую форму ее графика.
Это была мечта!
То есть вам дается формула любой функции, а вы по ней в два счета вычисляете и ее значение в точке "икс", и то, растет она или убывает, и то, насколько быстро она растет или убывает, и то, где она меняет рост на убывание, и где пересечет ось "ОХ" и так далее!
Здорово же?
Вот для этих целей "сканирования" функций и придумали то, что мы называем "производной". Давайте посмотрим на Рис 1. Здесь дан график некоторой функции f(x). Попробуем грубо определить его поведение при росте "х" недалеко от заданной точки "а". Можно определять и при убывании, идея будет такой же. В самой точке "а" функция принимает значение f(a).
При смещении вправо на "дельта-икс", значение аргумента (икса) становится равным х1. Точки на функции, соответствующие х=а и х=х1 - это "А" и "В". У них будут соответствующие "игрековые" координаты f(a) и f(x1).
Если мы соединим точки А и В, то получим очень грубую иллюстрацию роста функции между этими точками. Мы как бы "спрямили" график. По графику и по "спрямленному отрезку" АВ видно, что между этими точками функция возрастает. Это также видно по оси ОУ - ведь f(x1) > f(a).
Пока, наверное, все слишком банально, очевидно и не интересно. Но сейчас все начнется. :)
Самое главное - ведь розовый отрезок АВ - это не истинное поведение функции, а ОЧЕНЬ ГРУБОЕ. Что же делать, чтобы используя "дельта-икс" оценить поведение функции более точно?
Правильно! Приблизить точку В к точке А. Ну, поскольку В уже занята, давайте отметим точку С, и пусть ее "иксовая" координата будет х2. Вот что получится:
Красный отрезок АС гораздо ближе описывает поведение функции. Он как бы больше "прижат" к самой функции. И мы понимаем, что функция возрастает от а до х2 гораздо быстрее, чем мы оценили промежутком от а до х1.
А какой же, все-таки, величиной оценивать этот рост? Ну, мы рисуем отрезки, а воз-то и ныне там! Ничего мы толком не прояснили, как аналитически оценивать поведение функции.
И тут мы возвращаемся к ТРЕУГОЛЬНИКАМ! Ведь в них мы можем определить через углы, как ведет себя одна сторона относительно другой стороны. Давайте на красном отрезке построим прямоугольный треугольник следующим образом:
То есть горизонтальный катет треугольника будет "дельта-икс2", а вертикальный - "дельта-игрек2". Но, зная катеты, мы можем найти тангенс угла "альфа". А тангенс угла - очень хороший показатель поведения функции. То есть, если тангенс положительный, то функция растет. Если он равен, например, 1, то отрезок АС наклонен под углом в 45 градусов к горизонтали.
Отлично! То есть мы можем приблизительно оценивать поведение функции по тангенсам угла наклона отрезка между заданной точкой и чуть смещенной.
Но ведь это все равно не истинное значение, показывающее рост функции, верно? Чтобы найти истинное, нам нужно бесконечно приближать вторую точку к точке А. Вот примерно так это будет выглядеть:
Тогда уменьшая "дельта-икс" в воображении до нуля, мы получим уже не отрезок, соединяющий две точки графика, а касательную к нему!
Значит, нам нужен именно тангенс угла наклона касательной к оси ОХ, это и будет показатель роста или убывания функции в исследуемой точке (то есть при заданном "икс").
На Рис. 3 мы используем запись через так называемые "пределы", здесь lim (сокращенно от "limit") и является математическим выражением для предела некоторого выражения.
Но ведь на ноль делить нельзя! А мы говорили, что "дельта-икс" должен быть практически нулем.
На самом деле "в пределе" мы как бы не доходим до истинного нуля "дельта-икс", но бесконечно к нему приближаемся. А сама дробь с "дельта-игрек" в числителе и "дельта-икс" в знаменателе будет иметь конкретное значение при таком "предельном приближении". Она-то и даст нам тангенс угла наклона.
Но все равно, наверное, не очень понятно, правда?
Мы пока не будем больше "закапываться" в глубины математического анализа. Но когда все это дело исследовали ученые, оказалось, что для любой функции (ну, почти для любой) можно найти другую вторую функцию, которая ВСЕГДА будет показывать именно тангенс угла наклона касательной первой функции к оси ОХ! Эту-то вторую функцию и назвали производной от первой, или просто ПРОИЗВОДНОЙ. Давайте посмотрим на несколько примеров. Производную функцию мы записываем со "штрихом" и читаем "игрек-штрих" или "эф штрих от икс".
То есть у большинства функций есть соответствующая производная! У некоторых функций производные искать сложнее, у некоторых проще.
И тогда, если, например, мы хотим определить наклон параболы "у=х^2" в точке х=3, мы просто подставляем "тройку" в уравнение производной и получаем 2*3=6. Это и есть производная, или тангенс угла наклона.
Давайте разберем пример из ЕГЭ.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Чтобы найти производную, нужно найти просто тангенс угла наклона касательной к оси ОХ. А для этого давайте просто достроим треугольник на зеленой линии (нам даже для подсказки выделены 2 жирных зеленых точки). Вот что получится:
Вот и всё!
Очень хочется, чтобы вы проще и легче воспринимали производные, да и в целом темы последних классов школы. Надеюсь, дверь в этот мир нам сегодня немного удалось приоткрыть. :)
На этом давайте пока завершим. Тема производной на самом деле шире, и понимаю, что рассказал пока не все.
- Скажите, все ли здесь достаточно понятно мы разобрали?
- Какие еще вопросы остались?
- Какие задачи о производной хотите разобрать?
Делитесь мыслями и предложениями в комментариях! Каждое мнение очень важно.
Спасибо за внимание и до встречи в новых заметках и статьях!