Спасибо всем за участие в решении задачки по геометрии здесь >>
И, поскольку были от вас хорошие вопросы, давайте разберем три различных доказательства свойства биссектрисы угла треугольника, а именно:
Биссектриса угла треугольника делит сторону, противоположную углу, на отрезки, пропорциональные соответствующим сторонам угла.
Давайте докажем?
По сути, нужно объяснить, почему BD/DC = AB/AC.
Для того, чтобы было проще и писать и видеть структуру, обозначим нужные нам стороны угла через x и y, а отрезки противоположной стороны через a и b.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1. Без площадей.
1. Опустим высоту ВК на сторону АD, затем продолжим сторону АD и проведем к ней перпендикуляр СМ из точки С.
2. В получившихся прямоугольных треугольниках АВК и АСМ выразим высоты ВК и СМ как гипотенузы, умноженные на синусы углов "альфа".
3. Получим, что отношение высот ВК и СМ равно отношению сторон "икс" и "игрек". (К тому же можно прийти, рассмотрев треугольники АВК и АСМ как подобные).
4. ВК перпендикулярен АМ и СМ перпендикулярен АМ, следовательно, ВК параллелен СМ, а, по теореме о параллельных прямых и секущей, углы "бета" (КВD и МСD) равны, как внутренние накрест лежащие.
5. Треугольника ВКD и CMD подобны по двум углам, так как они прямоугольные, а углы при вершинах D - вертикальные (в принципе, хотя это уже не важно, углы "бета" - внутренние накрест лежащие).
6. Следовательно соответственные стороны пропорциональны. Исходя из этого делаем вывод, что ВК/МС = ВD/DC.
7. Сравнивая соотношение в пункте (3) и в пункте (6), делаем вывод о том, что отношение "икс" к "игрек" равно отношению "а" к "b"
Как говорится, что и требовалось доказать!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2. Площадь и синусы.
На входе - то же самое. Есть треугольник и биссектриса. Далее найдем площадь треугольника АВD и ACD по формуле, где используется две стороны и синус угла между ними:
Как видим, после деления верхней формулы на нижнюю, получим, что соотношение площадей равно соотношению сторон АВ и АС или "икс" и "игрек".
Теперь мы рассмотрим треугольники АВD и АDC, считая, что их "основания" - это "a" и "b", и тогда высота, проведенная к любой из них будет общей - АН.
Если мы запишем их площади, как половины произведений основания на высоту, и также поделим одно уравнение на другое, то получим:
В итоге, если сравним, что получилось при первом соотношении площадей и во втором, то получим, что отношение "икс" к "игрек" равно отношению "а" к "b", что и требовалось доказать!
Ну что, есть силы посмотреть еще на одно? :)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3. Свойство биссектрисы.
Поскольку каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, то, опустив перпендикуляры из точки D на стороны угла, мы получим равные отрезки. Обозначим их "h".
Теперь выразим площади треугольника АВD и ADC через основания АВ (икс) и АС (игрек) и высоты. А затем разделим одну формулу площади на другую.
Получили, что площади соотносятся как "икс" к "игреку".
Далее выразим значения площадей через основания "а" и "b" и соответствующие высоты. И также раздели одну формулу площади на другую. Что получается? Смотрим:
После сравнения отношений площадей снова делаем вывод о том, действительно биссектриса делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные сторонам угла!
Всё! Что и требовалось доказать!
В принципе, каждое доказательство требует нескольких шагов, но разобраться, верю, можно.
- Расскажите, какое из трех вам понравилось более всего?
- А какое показалось самым сложным?
Делитесь, пожалуйста, в комментариях. И до встречи!