Что такое ФУНКЦИЯ и ее свойства.

Привет. Сегодня мы поговорим о том, что такое функция и как ее описать.

В мире существует множество различных явлений. Каждую секунду происходит множество различных событий, как хороших или нейтральных, так и плохих: выпадение дождя, смена дня и ночи, а также сезонов года, распространение звука и света, и т.д. Всё это, все эти явления подчиняются какому-то то определенному своему закону. Даже то, что ты ложишься спать и встаёшь по утрам это тоже подчиняется какому-то определенному правилу. Все эти правила, законы и как их не назови в математике или физике описываются какой-то функцией.

Строгое ее определение из той же самой Википедии такое: соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества, называемого областью определения, соответствует один и только один элемент второго множества, называемого областью значений. Для того, чтобы понять, о чем в нем говорится, нам стоит ввести некоторые понятия и определения.

Определение из вики.

Начнем с того, где это все должно дело происходить. Система координат - система, позволяющая нам определять положения различных точек. Система координат имеет размерность. Так бывают ноль-мерные системы (или точка), одномерные (прямая), двумерные (плоскость), трехмерны (пространство) и так далее до бесконечности. Каждая точка на этой системе имеет координаты - совокупность чисел, определяющих положение точек на ней. Количество этих чисел зависит от числа аргументов функции - независимые переменные, определяющие значения функции - числовое значение функции при различной совокупности аргументов. Так, например, функция y=f(x), где y - значение функции в какой-то точке х, f(x) - описывает функциональную зависимость, а х - наш аргумент. И в зависимости от значения х наше y будет принимать разную величину. Количество аргументов функции зависит от размерности системы координат.

Декартова трехмерная прямоугольная система координат. Обычно в такой системе координат функция имеет зависимость z=f(x, y), где x и y - аргументы функции (независимые переменные), а z - значение функции (зависимая переменная).

После того, как мы ввели некоторые важные понятия, вернёмся к определению, написанному выше и введем ещё несколько важных понятий. Область определения функции - множество значений аргументов, при которых наша функция имеет смысл (т.е. существует). Например, область определения функции y=1/x не включает в себя ноль, поскольку в нем функция не будет иметь смысл. Область значений функции - те числовые значения, которые может принимать наша функция. Стоит отметить, что у каждой функции ее области определения и значения свои. Эти две вещи (области определения и значения) также являются для функции ее важнейшими свойствами.

График функции y=1/x. Видно, что значение х=0 не может быть достигнуто функцией. Это значение не входит в ее область определения.

График функции y=sin(x). Видно, что ее область значений (значений, которые может принимать функция), ограничены отрезком [-1; 1].

Теперь, познакомившись некоторыми понятиями о функции, ответим на главный вопрос: что же такое функция? Вернёмся к определению, в котором основным фактором, определяющим это понятие, является единственность значения функции. То есть каждой совокупности аргументов соответствует ровно одно значение функции. Например окружность у нас уже не будет считаться функцией, поскольку тут во многих точка ломается функциональная зависимость - одному значению аргумента соответствует 2 значения функции.

График окружности. Видно, что одному значению х может соответствовать 2 значения у, из-за чего это не является функцией.

Далее, давайте разберем ещё несколько свойств функции:

Четность функции - свойство, которое определяет симметрию функции. Так, функция четная, если она симметрична относительно оси у, а нечетная, если она симметрична относительно начала координат. Т.е. для четной функции справедливо f(-x)=f(x), а для нечётной f(-x)=-f(x). Также, если функция не имеет никакой симметрии, то она является в этих терминологиях никакой.

Монотонность - свойство функции, описывающее то, как ведёт себя функция при движении по оси х: возрастает, убывает или не изменяется.

Непрерывность - определяется областью определения функции, говорит о наличии точек разрыва.

Периодичность - говорит о том, является ли функция периодической, т.е. повторяется ли она с движением по оси х. Примером периодической функции является функция синуса.

Сегодня мы познакомились с таким важным понятием в математике и физике как функция: дали ее определение, определили ее некоторые свойства и характеристики.

Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, пишите свои комментарии. Также предлагайте темы для будущих разборов.

Пока.

#Школа #егэ #образование #образованиедетей #математика