- Элементы Небесной механики в школе!
Изменение орбит искусственных спутников Земли - не такая простая задача, как кажется на первый взгляд. Однако школьных знаний уже достаточно для того, чтобы многое понять. Плюс к этому чуть покопаемся в литературе и будем способны решать серьезные проблемы! Давайте посмотрим на схему, которая показывает, что нужно расчитать.
Чаще всего высота опорной орбиты начинается от 150 км. Но давайте для нашей задачи используем "круглое" увеличение высоты в 3 раза, то есть со 140 км до 420 км (примерная орбита МКС).
Для того, чтобы перейти с одной круговой орбиты на другую, необходимо сначала выйти на переходную эллиптическую орбиту. Одним из ее фокусов будет центр Земли, а большая полуось будет равна сумме радиуса низкой орбиты и итоговой орбиты.
Сначала может показаться, что это просто задача про увеличение потенциальной энергии. Но в реальности все немного сложнее. Так как скорости круговых орбит (или "первые космические скорости") на разном удалении от Земли разные.
На рисунке R с индексом "з" - это радиус земли, он равен приблизительно 6371 км.
Из рисунка следует, что Rз + H1 = R1, а также Rз + Н2 = R2. Это пригодится для расчетов. Выпишем гравитационную постоянную G и массу Земли М, затем найдем первую космическую скорость на высотах Н1 и Н2:
Итак, получили вполне адекватные значения скорости. Теперь нам необходимо дать первый импульс двигателем, чтобы космический аппарат перешел с низкой круговой орбиты на эллиптическую, и чтобы ее апогей (наиболее удаленная точка) был на расстоянии радиуса заданной высокой орбиты, то есть 420 км от поверхности Земли, или 6971 км от центра Земли. Здесь нам не нужны особо все детали элиипса как геометрической фигуры, но давайте все же вспомним некоторые азы:
Здесь F1 и F2 - так называемые точки фокусов эллипса. Нам же в дальнейшем будет важна только большая полуось.
2a = R1 + R2 = 6511 км + 6791 км = 13 302 км. Когда будем вносить эти данные в расчеты важно будет перевести в метры (в систему СИ).
Итак, чтобы перейти по эллиптической орбите в апогей, нужно на короткое время включить двигатели, которые увеличат кинетическую энергию тела на определенную величину. Давайте запишем закон сохранения энергии для этого перехода.
Здесь две неизвестных величины - добавка энергии от работы двигателей и скорость в апогее. Кстати, мы видим, что в космических перелетах потенциальная энергия берется со знаком "минус". Если не помните, почему это так, посвящу этому отдельную статью. Пишите, будет ли это интересно?
Найдем скорость в апогее:
Действительно, скоро будет "не дотягивать" до скорости круговой орбиты на высоте апогее. Все логично. Так сколько же энергии нужно на этот маневр? Давайте посчитаем, учитывая теперь еще и массу самого корабля "Союз". Примем ее равной 7 000 кг.
Величина не маленькая, но и не смертельная, учитывая весьма большую энергию сгорания топлива.
Но мы помним, что здесь скорость все еще недостаточна. Нужен дополнительный импульс, чтобы сохранить новую орбиту. Что нам поможет в расчетах? Верно, снова закон сохранения энергии.
Если сложим энергии первого и второго импульса, то получим:
4,456 + 4,32 = 8,776 ГДж.
Если КПД двигателя принять близким к 100% (что, конечно же, вольность, но для простоты пойдем по этому пути), то вся тепловая энергия сгорания топлива и будет той добавочной энергией, которую дадут двигатели. А отсюда можно посчитать расходуемую массу топлива и окислителя (пара амил-гептил):
Осталось найти время маневра. Воспользуемся формулой периода для эллиптических орбит. Помним, что "а" - это большая полуось, которую мы уже посчитали ранее. Итак:
Поскольку при переходе корабль пролетает только пол-эллипса, то берем половину полного периода. То есть время перехода с одной орбиты на другую будет примерно равно 45 минутам.
Всё!
Конечно, эти расчеты очень приблизительны. И "СОЮЗ" самостоятельно с низкой опорной орбиты на высокую не переходит. Его доставляет до рабочей орбиты третья ступень. И КПД у двигателей ниже 100%. Плюс при выработке топлива масса снижается, поэтому его в реальности потребуется несколько меньше, чем в наших выкладках.
Но все равно, верю, вам было интересно получить данные для космического маневра. Оценочно мы нашли расход топливо (порядка 650 кг) и требуемое для маневра время (45 минут).
Поделитесь, пожалуйста:
- Все ли понятно в расчетах?
- Возможно, заметили ошибки или неточности?
- Что хорошо еще объяснить, чтобы не осталось вопросов?
Пишите, пожалуйста в комментариях. Рад каждому отклику.
И до встречи в новых статьях!