Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Казалось бы, порядок - это общеупотребимое понятие. Первый порядок, который часто обсуждается в начальной школе, - это стандартный порядок натуральных чисел, например, "2 меньше 3", "10 больше 5" или "У Маши меньше печенья, чем у Саши?".
Эта интуитивная концепция может быть распространена на порядки в других наборах чисел, таких как целые и действительные числа, и в дальнейшем не только на числа, но и на множества и другие алгебраические структуры.
В теории множеств отношение порядка соответствует отношению подмножества, например, "Педиатры - это врачи", а "Круги - это просто эллипсы особого вида" и т.д.
Однако, это лишь конкретные утверждения, которые не могут лежать в основе такого фундаментального понятия. Оказывается, почти все порядки в математике - это системы, синтезированные из трех элементарных понятий, точно как все элементарные частицы состоят из "разноцветных" кварков и антикварков.
В математике же роль кварков играют бинарные соотношения:
- рефлексивность (антирефлексивность);
- симметричность (антисимметричность, асимметричность);
- транзитивность (антитранзитивность).
С этими понятиями мы уже сталкивались, когда я рассказывал Вам про отношение эквивалентности.
Рефлексивность
Рефлексивность - это такое отношение R, при котором всякий элемент находитcя в отношении R с самим собой.
Как не трудно догадаться отношениями антирефлексивности является отношение неравенства или строгие знаки "<" или ">". Отношение «быть сыном» – антирефлексивно, так как никто не приходится сыном самому себе.
Симметричность
Симметричность - это такое соотношение R, что для любых двух элементов из aRb следует bRa.
Другой пример отношения симметричности в жизни - это отношение брака (тот который "семейные узы").
А что же, например, со знаками "больше (меньше) или равно" и "меньше (больше)"? Эти отношения не являются симметричными, однако среди них есть своя классификация.
Так, отношение "меньше (больше) " называется асимметричным, в том смысле, что одновременное выполнение aRb и bRa невозможно. Формально это выглядит так:
Отношение "больше (меньше) или равно" называется антисимметричным, в том смысле, что из aRb и bRa следует a=b, либо нет такой пары a и b, что они связаны отношением R друг с другом. Формально:
Реальный пример отношения, которое обычно является антисимметричным, - это "оплаченный счет в ресторане". Обычно некоторые люди сами оплачивают свои счета, в то время как другие платят за своих супругов или друзей. Пока два человека не оплачивают счета друг друга, отношение является антисимметричным.
Антисимметрия отличается от асимметрии: отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и нерефлексивно.
Транзитивность
Транзитивность - это отношение, при котором из aRb и bRc следует aRc. Простейшим примером транзитивных отношений как раз являются отношения "больше (меньше)" и "больше (меньше) или равно":
В реальной жизни можно привести пример отношение по возрасту, в некоторых случаях подчиненности, пищевые цепочки и т.д.
Стоит заметить, что в записи этого соотношения принимают участие три элемента некоторого множества, однако считается что для одноэлементного множества транзитивность всегда выполняется.
Попытка классификация приводит нас к "нетранзитивным" или более сильным антитранзитивным отношениям. Например, "является биологическим родителем" не является транзитивным отношением, потому что, если Анна является биологическим родителем Риты, а Рита является биологическим родителем Кати, то это не означает, что Анна является биологическим родителем Кати. Более того, они антитранзитивны: Анна никогда не сможет быть биологическим родителем Кати.
Другие примеры транзитивных отношений:
- "является подмножеством";
- "делит";
- "подразумевает".
Примеры нетранзитивных отношений:
- "является членом множества";
- "перпендикулярно".
Итак, "математические кварки" у нас есть. Что дальше? А дальше мы начинаем синтезировать первую структуру, которая называется "предпорядок", которая обладает лишь свойствами рефлексивности и транзитивности. Продолжим в следующем материале! Спасибо за внимание!
- Подписывайтесь на канал! Ориентировать стало легче с введением подборок. Например, вот что я писал по абстрактной математике.