С самых древних времён в математике многозначность имеет плохую репутацию. И не только в математике. Все возможные софистические проблемы, созданные философами древности привели к созданию логики, которая практически сразу постулирует однозначность.
…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно
- говорит Аристотель, когда формулирует закон тождества своей логики. Сейчас его формулируют как
A=A
Так создается определенность значения слов, которая позволяет не подменять многозначные слова, в ходе рассуждения. Все мы встречались с подменой понятия, когда одно значение, заменяется неявно на другое. Примером такого является следующее высказывание:
Эволюция — это теория, следовательно, эволюция является лишь недоказанным предположением
Слово теория в естественной науке, означает научную теорию, которая имеет определенную доказательную базу, и по сути является принятой, "доказанной" концепцией в науке. В повседневном обывательском языке это же слово может означать предположение, причем не просто недоказанное, но часто даже близко ненаучное. И это высказывание иллюстрирует замену одного значения на другое, в ходе рассуждения.
В математике, много вариантов ответа мешают производить дальнейшие рассуждения. Скажем чтобы мы сделали если бы к примеру сумма
2+2
Давал не один вариант 4, а много? Было бы весьма сложно делать некоторые предсказания или подсчеты. Посвященные в математику, конечно, скажут что почти так и есть. На самом деле операция сложения вполне может переопределяться. В кольце вычетов по модулю 4 сумма 2+2=1. А если вы программист, то вы легко вспомните операцию конкатенации со строковыми переменными, и ответ на пример может быть 22.
Но есть тут небольшой момент. Всё-таки, разные результаты получаются в совершенно разных моделях. Эту многозначность можно решить указанием какая именно операция в какой алгебраической системе имеется ввиду. Ну и принять так сказать систему по умолчанию.
Теперь вспомним (ну кто-то может и впервые узнает) одного из основных понятий в математике.
Функция или отображение (это слово можно воспринимать как более аристократичный синоним) из одного множества в другое, по определению каждому элементу из первого множества ставит в соответствие один и только один элемент второго множества. Для этого существует даже специальное математическое обозначение:
Здесь буквами X и Y обозначаются множества, а f - это сама функция. Функция, как я уже заметил, это одно из основных и общи понятий в математике (наряду с множествами). И уже на этапе определения видно, как зафиксирована однозначность результата функции. Это самое - только один, означает если одному x из множества X соответствует больше одного y из Y, то это уже не функция. При этом остается совершенно свободным для этого определения и природа обоих множеств, это могут быть множества совершенно любых объектов, и то как именно это правило соответствие проведено. Однозначность по сути единственное что требуется от функции. И это действительно занятно.
Если однозначность не включать, то получается то, что называется соответствие, или если более формально бинарное отношение. У него есть формальное определение, но интуитивно его достаточно просто представить. Особенно если обратится к иллюстрациям:
Но такие соответствия не очень полезны практически. Они полезны лишь как некая теоретическая основа для функций и других основных понятий. А вот функцию, я уверен вы встречали на практике. Что в элементарной математике, что в высшей, это очень распространенное понятие на всех уровнях математики.
И его распространенность порождает в некоторых случаях необходимость многозначной функции. Самая первая необходимость многозначности появилась при рассмотрении обратных функций. Дело в том, что требование однозначности, не обязательно обеспечивает то, что каждому значению функции соответствует только один аргумент. С этим вы встречаетесь с самой школы. К примеру квадратичная функция:
Очевидно, что, к примеру, y=1 получается и при x=1 и при x=-1. А значит обратная функция вовсе не функция:
Как с этой проблемой обычно расправляются? Да просто делают однозначность, распиливая функции на "ветви", вот всем знакомый график квадратного корня.
Похожим образом классический матанализ расправляется с любой обратной функцией. Однако, не со всеми функциями можно так расправится. Всем известен логарифм (натуральный), и то что это обратная функция к экспоненте. И казалось бы это тот случай когда нет проблем с многозначностью, но проблемы пришли в комплексной плоскости. Да логарифм там получается многозначным. Дело в том, что чтобы сохранить определенные необходимые свойства логарифма, здесь не получится просто отказать от части значений, как в предыдущем примере. И так принято в комплексном анализе, что комплексный логарифм многозначен.
Но все-таки долгое время мат анализ, не особо требовал какой-то теории функций с многозначностью, это были некоторые исключительные случаи, с которыми справлялись.
Совершенно неожиданно то, что это изменила внезапно это теория игр. А также смежные ей теории: теория оптимизации, теория управления и мат экономики.
Дело в том, что в теории игр одно из основных понятий это стратегия, которую избирает игрок чтобы добиться своих целей. И так уж выходит что стратегии крайне часто являются многозначными. Их, конечно, возможно сделать однозначными, как мы поступали ранее с функциями, но дело прежде всего в том, что стратегия чаще всего это то, что в теории игр нужно найти.
Почему это важно? Одно дело если вы сами задаете некую функцию. Тогда естественно ее можно выбрать однозначно если что. Но если вы ищете ответ на некую задачу, то вы не можете просто так выбрать лишь часть этого ответа. Представьте будто вместо того чтобы ответить на заданный вопрос, вам придется каким-то образом убрать оттуда половину слов, совершенно произвольным принципом, как тогда согласовать ответы, нескольких людей?
Кроме того, в исследовании самих игр и их свойств оказалось важны некоторые свойства стратегий и целей игроков, что теряются если выбирать однозначные стратегии.
В общем причин оказалось масса, и это послужило поводом построить расширение математического анализа под названием многозначный анализ.
Удивительно, что оказалось проще определить многозначное отображение не через более общее понятие "соответствия" (ну или бинарного отношения), а внезапно как частный случай функции, отображения.
Пользуясь тем свойством, что множества в определении функции вообще любые, внезапно можно заменить просто некое множество Y, на множество всех подмножеств P(Y) некого множества Y.
А что? P(Y) тоже некое множество, и ничто не мешает взять его в качестве "Y" в которое должна отображать функция. Если, например, у функции
Множество Y это все действительные множества, где каждый элемент это просто число: 2, 3, 6.5 или 5.235236530... То в случае многозначного отображения каждый элемент будет неким множеством. Например, целый отрезок. Это также причина почему в английской литературе многозначный анализ в основном называется Set-Valued analysis, то есть множество-значный анализ.
Пример функции, которая почти всюду (за исключением одной точки) выдает целый отрезок для каждого икс:
Так же можно отобразить ее график, для наглядности:
На графике можно увидеть как выглядит многозначная функция. Не смотря на кажущуюся сложность, для таких функций можно построить свой матанализ с интегралом и производными.
В нем, конечно, будут отличия. К примеру, для обычных функций одно из основных понятий это непрерывность, достаточно интуитивно понятное любому свойство: функция не должна прерываться, пересказывать, разрываться, но довольно сложное, если рассуждать об этом математически. Для многозначных же функций непрерывность не столь важна, как полунепрерывность. В основном, потому что непрерывные многозначные отображения слишком редки на практике - в теории игр или оптимизации. Зато становится очень важной выпуклость.
Так же интересно что для многозначных функций уравнения вроде
Меняются на включения:
Но к чему я все это? А к тому, что однозначность это хоть и важный элемент определенности, на самом деле возможно сделать многозначную определенность. Это то, что математика показала на примере как раз такого "расширения" функции, как многозначные отображения.
Вовсе не обязательно думать, что "одно значение" это какая-то особая строгость математики, и ей другое недоступно. И наоборот не нужно думать, что мутные размышления со многими значениями это какойто особый способ познания и духовной осознанности, и строгий последовательный разбор не может такое обработать.