Нерекурсивный алгоритм генерации всех разбиений целого числа в лексикографическом альтернативным; в Интернете представлено несколько способов порождения данных комбинаторных объектов, однако, как это справедливо и относительно других комбинаторных алгоритмов, реализации сводятся к двум типам — нерекурсивному и рекурсивному. Чаще можно встретить реализации, которые не учитывают порядок вывода объектов или осуществляют вывод по принципу дробления числа.
Приведённая ниже реализация работает по обратному принципу: исходное число изначально разбито на единицы, алгоритм работает до тех пор, пока число в нулевом индексе массива не станет равным сумме исходного числа. Особенностью данного алгоритма является то, что он крайне прост для понимания, однако это не лишает его некоторый специфики:
1) Первый объект просто выводится на экран в самом начале, таким образом, он вынесен за пределы циклов, фактически является инициализирующим;
2) Существует несколько способов реализации переноса единицы, которые могут, как упростить код, так и сделать его более запутанным;
3) Данная нерекурсивная реализация может служить наглядным примером для объяснения генерации комбинаторных объектов на нескольких процессорах, после незначительной модификации. Для разделения генерации на процессоры достаточно: а) определить элемент по его номеру и сделать инициализирующим; б) определить момент для остановки работы. Например, если известно число объектов, генерируемых на одном процессоре, то достаточно ввести еще одну инкрементируемую переменную в верхний цикл и изменить условие выхода из самого верхнего цикла по достижении требуемого количества.
Код на языке PHP приведён только для демонстрации корректности алгоритма и может содержать лишние языковые средства, которые добавляют реализации избыточности.
Описание алгоритма
Дано: исходный массив в виде единиц — А (1,1,1,1,1).
Шаги
0) Если получили сумму (в случае реализации ниже, если нулевой индекс равен сумме числа), тогда остановка алгоритма.
1) Двигаясь по массиву слева направо, искать в массиве А первый минимальный элемент — x,
последний элемент не учитывается (не участвует в поиске минимального).
2) Перенести единицу из конца (последнего элемента) в найденный минимальный элемент x
(равносильно увеличению x на единицу и уменьшению на единицу последнего элемента).
3) Если в массиве А есть ноль — 0, то удалить последний элемент.
4) Разложить сумму всех элементов после измененного элемента — x – на единицы.
Пример
А=(1,1,1,1,1)
2,1,1,1
2,2,1
3,1,1
<?php /*Генерация всех разбиений. Generate all partitions.*/ $a = array(
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1 );
$n = count($a);
while (1)
{
/*Печать и выход. Print end exit.*/ print_r($a);
if ($a[0] == $n) break;
/*Элемент в нулевом индексе нашего динамического
массива на текущий момент.
First element of our dynamic array*/ $first_elem = $a[0];
/*Размер массива на текущий момент. Length of an array*/ $c = count($a) - 1;
$i = 0;
while ($i != count($a) - 1)
{
/*Найдем элемент меньше первого. Here we search min. element.*/ if ($a[$i] < $first_elem)
{
$first_elem = $a[$i];
$min_elem = $i;
}
$i++;
}
if (empty($min_elem)) $min_elem = 0;
/*Перенос элемента "1". Here we transfer "1". */ $a[$min_elem]+= 1;
$a[$c]-= 1;
/*Обрежем массив и найдем сумму его элементов. We cut the array
* and count the sum of elements.*/ array_splice($a, $min_elem + 1);
$array_sum = array_sum($a);
/*Добавим в массив единицы заново с учетом суммы.
Here we add 1 (fill) to the array
( taking into account the sum ).*/ for ($j = 0; $j != $n - $array_sum; $j++) $a[] = 1;
/*Обнулим переменную. Unset min_elem.*/ unset($min_elem);
}
?>
Update:
Операция с поиском и удалением 0 в массиве лишняя (так как используется array_splice, а затем новое заполнение массива), как правильно было замечено в комментарии участником dev26
Выводы
Хотел бы в конце поделиться одним наблюдением, я очень долго пытался понять, почему одни алгоритмы понятны сразу и легки для кодирования, а другие заставляют мучиться… и мучиться порой долго. Должен отметить, что этот алгоритм у меня получилось закодировать почти сразу, но только после того, как я получил однозначно понятное описание каждого шага. И тут есть важный момент, понять алгоритм и описать — задачи одна другой не легче. Однако, в алгоритмизации и составлении описания, особенно важным оказывается то, какими глаголами описываются действия в алгоритме — это (субъективно) в конечном счете может влиять и на конечную реализацию.
Литература
[1] Donald E. Knuth. The Art of Programming. Vol. 4. 2008.
[2] Dennis Ritchie and Brian Kernighan. The C Programming Language. 1978.
[3] Aleksandr Shen. Algorithms and Programming: Problems and Solutions.
[4] ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа
[5] en.wikipedia.org/wiki/De_Arte_Combinatoria
P.S. Несмотря на приведенный список литературы, алгоритм пришлось выводить заново.
Еще одно дополнение:
Вынос первого элемента из циклов при данном подходе имеет силу как для генерации разбиений, так и для генерации сочетаний, перестановок. В принципе данный подход (хоть и несколько избыточный при реализациях) вполне обобщается для генерации других комбинаторных объектов.
UPDATE
Алгоритм разбиений в соединении с алгоритмом перестановок позволяет генерировать и все композиции числа. Идея простая: для каждого разбиения вызывается функция генерации всех перестановок для этого разбиения.
<?php /*Генерация всех разбиений. Generate all partitions.*/ $a = array(
1,
1,
1,
1,
1 );
$n = count($a);
$h=0;
while (1)
{
/*Печать всех перестановок и условие выхода.
Permutations and exit.*/ permute($a, $h);
if ($a[0] == $n) break;
/*Элемент в нулевом индексе нашего динамического
массива на текущий момент.
First element of our dynamic array*/ $first_elem = $a[0];
/*Размер массива на текущий момент. Length of an array*/ $c = count($a) - 1;
$i = 0;
while ($i != count($a) - 1)
{
/*Найдем элемент меньше первого. Here we search min. element.*/ if ($a[$i] < $first_elem)
{
$first_elem = $a[$i];
$min_elem = $i;
}
$i++;
}
if (empty($min_elem)) $min_elem = 0;
/*Перенос элемента "1". Here we transfer "1". */ $a[$min_elem]+= 1;
$a[$c]-= 1;
/*Обрежем массив и найдем сумму его элементов. We cut the array
* and count the sum of elements.*/ array_splice($a, $min_elem + 1);
$array_sum = array_sum($a);
/*Добавим в массив единицы заново с учетом суммы.
Here we add 1 (fill) to the array
( taking into account the sum ).*/ for ($j = 0; $j != $n - $array_sum; $j++) $a[] = 1;
/*Обнулим переменную. Unset min_elem.*/ unset($min_elem);
}
/*Функция перестановок. Permutations function.*/ function permute($b,&$h)
{
/*Дублируем массив и перевернем его. Это нужно для выхода
* из алгоритма.
* Here we make a copy and reverse our array. It is necessary to
* stop the algorithm.*/ $a = $b;
$b = array_reverse($b);
while (1)
{
/*Печать и условие выхода. Here we print and exit.*/ print_r($a);
print "\n";
if ($a == $b) break;
/*Ищем слдующую перестановку.
* Here we search next permutation.*/ $i = 1;
while ($a[$i] >= $a[$i - 1])
{
$i++;
}
$j = 0;
while ($a[$j] <= $a[$i])
{
$j++;
}
/*Обмен. Here we change.*/ $c = $a[$j];
$a[$j] = $a[$i];
$a[$i] = $c;
/*Обернем хвост. Tail reverse.*/ $c = $a;
$z = 0;
for ($i-= 1; $i > - 1; $i--) $a[$z++] = $c[$i];
}
}
?>
Больше по теме комбинаторика можно посмотреть в моём старом блоге на: https://habr.com/ru/users/dcc0/