Сергей Алексеевич Чаплыгин родился 24 марта (5 апреля)1869 года в городе Раненбург (г.Чаплыгин, Липецкой области). В 1877 году, когда мальчику исполнилось восемь лет, его отдали в гимназию. Преподаватели с первых дней учебы отметили, что мальчик обладает неординарными способностями и великолепной памятью. Ему легко давались древние и современные новые языки, история и ряд других предметов, но больше всего его влекла математика. Весной 1886 года С.А. Чаплыгин с золотой медалью окончил мужскую гимназию в Воронеже и тут же подал заявление о приёме в Московский университет. В 1890 году будущий ученый закончил физико-математический факультет Московского университета и по протекции Н. Е. Жуковского, который видел в С.А. Чаплыгине большого учёного, на два года был оставлен при университете для подготовки к профессорской деятельности. В 1894 году С.А. Чаплыгин получил своё первое учёное звание приват-доцента Московского университета. В 1897 году ученый опубликовал свою новую научную работу «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости». Эта работа в 1898 году была представлена к защите в качестве магистерской диссертации. В ней С.А. Чаплыгин произвёл геометрическую интерпретацию законов перемещения твёрдых тел в жидкой среде. Данная научная работа получила высокую оценку со стороны Н.Е. Жуковского, который оценил ее как классическую.
Впоследствии С.А. Чаплыгин продолжает вести огромный объём научных исследований. В его интересы входит создание теории движения твёрдых тел по шероховатой поверхности. В результате своих исследований С.А. Чаплыгин опубликовал две научные работы: «О движении тяжёлого тела вращения на горизонтальной плоскости» и «О некотором возможном обобщении теоремы площадей с применением к задаче о катании шаров». За них Сергею Алексеевичу Чаплыгину Санкт-Петербургской академией наук присуждается почётная золотая медаль.
На рубеже веков С. А. Чаплыгин приступает к исследованию струйных течений в несжимаемых, а дальше и в сжимаемых жидкостях. В 1895 году на заседании Математического общества ученый прочел доклад «О движении газа с образованием разрыва». В 1903 году он защитил докторскую диссертацию по теме «О газовых струях», где был изложен новый метод изучения струйных движений газа при любых дозвуковых скоростях. Данная работа стоит отдельно в творчестве великого учёного и имеет необычную судьбу. Она долгое время не была по достоинству оценена современниками. В те годы, когда авиация еще только делала свои первые шаги, С.А. Чаплыгин описал в данной работе возможность движения со скоростями, приближёнными к скорости звука. Его работа была написана кратко, сжато, и разобраться в ней было действительно достаточно трудно. Спустя некоторое время после защиты докторской диссертации С.А. Чаплыгина избирают профессором Московского университета.
В 1910 году ученый сделал доклад на заседании Московского математического общества, в котором показал, каким образом можно подсчитать циркуляцию при обтекании крыла самолёта потоком воздуха. Таким образом, если Н.Е. Жуковский сделал первый фундаментальный шаг в объяснении возникновения подъёмной силы крыла самолёта, то С.А. Чаплыгин сделал второй важный шаг, показав, каким образом можно вычислить реальную подъёмную силу крыла самолёта. В 1918 году в Москве создаётся аэрогидродинамический институт (ЦАГИ). Директором института назначают Н.Е. Жуковского, который привлекает к работе С.А. Чаплыгина. В 1921 году Жуковский умирает, и главным научным руководителем и председателем коллегии назначается С.А. Чаплыгин.
Огромная по объёму научная деятельность Сергея Алексеевича Чаплыгина выдвинула его на одно из первых мест среди учёных Советского Союза, и в 1926 году он избирается членом-корреспондентом Академии наук СССР, а 12 января 1929 года – академиком. Огромная административная и научная работа, которой занимался С.А.Чаплыгин в качестве директора ЦАГИ, отбирала много сил, и в 1931 году он попросил освободить его от занимаемой должности по состоянию здоровья. Просьба была удовлетворена. В 1933году Сергей Алексеевич Чаплыгин был награждён орденом Ленина, а в феврале 1941 года ему было присвоено высокое звание Героя Социалистического Труда. Во время войны ученый вместе с ЦАГИ выехал в Новосибирск. Умер Сергей Алексеевич 8 октября 1942 года в Новосибирске.
В Москве в 1960 году на углу улицы Грибоедова и Б. Харитоньевского переулка был установлен памятник-бюст Сергею Алексеевичу Чаплыгину. Авторы памятника-бюста скульптор З. М. Виленский, архитектор Ю. И. Гольцев