На днях размещала короткий пост в других соцсетях по поводу логарифмов и их проблем в рамках решений уравнений и неравенств. Здесь же я решила выпустить полноценный такой пост по этому поводу.
Логарифмы - очень коварная тема. С одной стороны, её обычно любят чуть больше, чем тригонометрию. Но чаще всего это мнимая уверенность, что ты всё знаешь и понимаешь. Чаще всего так происходит, потому что определение логарифма нам дают, в цифрах мы понимаем, что происходит, да и свойства вроде не сложные.
НО! Есть одно большое "но". Все свойства без проблем работают на численных выражениях, но далеко не все так просто можно использовать в буквенных выражениях, а тем более в уравнениях и неравенствах.
Поэтому сегодня поговорим именно о проблемах свойств в рамках неравенств и уравнений.
Первое, казалось бы, безобидное свойство связано с вынесением степени.
Что с ним может быть не так?
С цифрами оно работает прекрасно, в чём тогда проблема точно также с буквами делать? Давайте посмотрим на конкретном численном примере:
Получается, что я оставила под логарифмом отрицательное число. А такого быть не может. Видя цифры я, конечно, так не сделаю, и представлю 25 как квадрат просто 5. Но в буквах я не могу гарантировать, что там всё так хорошо. Поэтому, если мы выносим из под логарифма чётную степень, то нам необходимо обеспечить, что под логарифмом не осталось минуса. И сделать это можно с помощью модуля:
Аналогично работает и с вынесением степени из основания:
Модуля бояться не стоит. Он, как правило, почти сразу раскрывается по ограничениям и исчезает - но это отдельная история.
Где ещё возникают схожие проблемы знаков? В двух базовых свойствах по сложению и вычитанию логарифмов:
Здесь обязательно надо обеспечить, что в отдельных логарифмах не оказались отрицательные числа. В цифрах мы прекрасно видим знак числа, а в выражениях совсем не факт. Опять же покажу сначала на численном примере:
В рамках чисел мы можем это отследить и не допустить второго случая. Но кто нам это гарантирует в буквенных выражениях? Поэтому, необходимо делать так:
Знак системы ставить обязательно, потому что все условия должны выполняться одновременно. Нельзя допустить, чтобы у одного логарифма было всё хорошо, а у другого нет.
Аналогично работает и с делением:
Вы знали про эти особенности логарифмов? Знать и использовать их надо, чтобы в №14 из второй части ЕГЭ не получить 0 баллов. А к этому относятся очень строго и будет обидно даже при правильном ответе ничего не получить.
Все эти особенности мы обязательно будем проходить на курсах подготовки ко второй части ЕГЭ - как правильно оформлять и решать. Поэтому напоминаю о возможности предзаписи на курсы (нажмите на слово).
Также буду рада вопросам, комментариям и ответам на следующие два вопроса, чтобы учесть ваши пожелания!
#егэ #математика #егэматематика #егэпрофиль #профильнаяматематика #егэпоматематике #логарифмы #егэлогарифмы #репетитор #репетитор по математике