Сегодня рассмотрим задание №4045 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «базового» уровня сложности, но данный разбор я предлагаю самым «слабым» ученикам, которые плохо помнят даже основные формулы геометрии.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см:
Рассуждаем
Поскольку в условии дан квадрат, первая мысль – найти его сторону, и по известной стороне найти площадь квадрата.
Каждая сторона расположена «наискось», по диагонали прямоугольника 2×7. Следовательно, необходимо найти длину этой диагонали, для чего удобно воспользоваться теоремой Пифагора. Возведя в квадрат стороны такого прямоугольника и извлекая корень из суммы, мы получим сторону квадрата. А потом, возведя её в квадрат, получим площадь. Фактически нам даже не надо делать два последних действия, мы сразу получаем площадь квадрата.
Но, что делать тем ученикам, кто не помнит теорему Пифагора, или просто не может догадаться, что её надо применить?
Второй способ решения – разрезать квадрат так, чтобы он состоял из фигур, в которых площадь легко находится – квадратов и треугольников. Проще всего будет разрезать исходный квадрат на меньший квадрат 5×5 и четыре треугольника вокруг. Площадь исходного квадрата будет равна сумме площадей меньшего квадрата и четырёх треугольников.
План решения
- Для первого способа найдём длину стороны квадрата через теорему Пифагора.
- Найдём площадь, возведя найденную сторону в квадрат.
- Для второго способа разрежем исходный квадрат на фигуры, площадь которых легко вычислить – меньший квадрат внутри и четыре равных прямоугольных треугольника снаружи.
- Площадь меньшего квадрата найдём непосредственно по клеткам.
- Площадь каждого треугольника равна половине произведения катетов.
- Площадь исходного треугольника будет равна сумме площадей меньшего квадрата и четырёх треугольников вокруг.
Решение.
Первый способ.
Площадь квадрата равна квадрату стороны. Стороны квадрата проходят через узлы квадратной решётки. А значит, их длину можно найти по теореме Пифагора:
Каждая сторона проходит диагональю через прямоугольник 2×7. Следовательно, длина стороны равна:
Площадь квадрата равна квадрату стороны. То есть ответ:
Второй способ
Что делать, если формулу площади помнишь, а вот теорему Пифагора забыл? (Или просто не догадался её применить для нахождения стороны.)
Можно сделать иначе – разрежем квадрат так, чтобы он был составлен из простых фигур – квадратов и прямоугольных треугольников:
Площадь квадрата равна квадрату стороны, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Размер стороны внутреннего квадрата и катетов треугольников известны. Следовательно, легко найти ответ. Площадь внешнего квадрата равна сумме площадей внутреннего квадрата и четырёх треугольников: