Он родился 25 августа 1930 года в Тбилиси. Вскоре семья перебралась в Москву, где отец занялся строительством метрополитена, а мать устроилась вторым режиссёром на «Мосфильм». С кино и театром были связаны и ближайшие родственники. Юный Данелия участвовал в массовке фильмов своего дяди — режиссёра Михаила Чиаурели, который был женат на народной артистке Верико Анджапаридзе. А двоюродной сестрой Георгия была знаменитая грузинская актриса Софико Чиаурели.
Несмотря на актёрскую семью, связывать жизнь с кино Данелия поначалу не планировал — после школы он поступил в архитектурный институт и на протяжении года работал по специальности. Всё изменилось, когда друг семьи Михаил Калатозов объявил набор в свою мастерскую при только что открывшихся Высших режиссёрских курсах. Георгия Данелия оказался в числе первых студентов, а спустя много лет уже ставшую легендарной школу для начинающих режиссёров переименовали в его честь — ВКСР имени Георгия Данелии.
Полнометражным дебютом Данелии в качестве режиссёра стала трогательная мелодрама «Серёжа» — картина получила награды на кинофестивалях в Чехии, Канаде и Греции, а читатели журнала «Советский экран» признали её лучшим фильмом года.
Знаковым событием своего времени был выход следующей ленты Георгия Данелии «Я шагаю по Москве». Картина стала символом хрущёвской оттепели и открыла новый жанр в советском кинематографе — лирическая комедия. Такое сочетание родилось у режиссёра при сдаче фильма худсовету: комиссия никак не могла понять, почему комедия не вызывает смеха, на что Данелия ответил: «Так она же лирическая!». Позже в титрах к фильму «Джентльмены удачи», где Данелия был сценаристом, появилась подпись: «Нелирическая комедия».
Сложная судьба была уготована следующей картине режиссёра «Тридцать три». В колкой экранной сатире чиновники усмотрели «клевету на социалистическую действительность» и отправили ленту на полку на двадцать пять лет. Однако запрещённую комедию тайком крутили в клубах и окраинных кинотеатрах, так что у закрытого фильма появилась своя армия поклонников. С этой картины началось сотрудничество Георгия Данелии и Евгения Леонова — режиссёр считал актёра своим талисманом и снял его во всех своих следующих фильмах.
После проблем с лентой «Тридцать три» Георгий Данелия вернулся к жанру лирической комедии. На экраны вышли «Не горюй!», «Афоня», «Осенний марафон», «Мимино». Сам мэтр особенно выделял картину «Слёзы капали» — «грустную сказку» по мотивам осовремененного сюжета «Снежной королевы». В 90-е годы режиссёр не остался без работы — подарил зрителям ленты «Паспорт», «Настя», «Орёл и решка». Особняком в творчестве Данелии стояла фантастическая антиутопия «Кин-дза-дза!». Именно к этой картине он вновь обратился на склоне лет, сняв анимационную версию «Ку! Кин-дза-дза», которая стала его последней режиссёрской работой.
Первой избранницей Георгия Данелии была адвокат Ирина Гинзбург — дочь наркома строительства Семёна Гинзбурга. В этом браке на свет появилась дочь Светлана Данелия, которая впоследствии стала юристом.
На съёмках фильма «Хмурое утро» режиссёр познакомился с актрисой Любовью Соколовой. Она долго не принимала ухаживания нового поклонника — хранила память о погибшем в блокаду муже, но в конце концов сдалась. Они были вместе почти тридцать лет, которые нельзя было назвать идеальными — ради сына Любовь мирилась с похождениями Георгия на стороне, среди которых был и многолетний роман с писательницей Викторией Токаревой. Однако судьба отняла у супругов единственное, что их объединяло: в 26 лет их сын Николай Соколов-Данелия погиб при невыясненных обстоятельствах. Поговаривали, что молодой режиссёр, поэт и художник вступил в секту.
В третий раз Георгий Данелия связал себя узами брака с режиссёром Галиной Юрковой. Вместе они воспитали сына Кирилла, который стал успешным художником и коллекционером. Георгий Данелия и сам в последние годы увлекался живописью и графикой, собрал коллекцию барабанов и выпустил несколько книг мемуаров, объединённых под общим названием «Кошмар на цыпочках». В 2019 году 88-летний режиссёр был госпитализирован с воспалением лёгких, но побороть болезнь так и не сумел.