Подборку заданий публиковала здесь:
Мои решения, предложенные ниже, возможно, громоздкие. Хотя в некоторых случаях просто не вижу другого варианта решения. А вдруг он есть?
Источник: олимпиада для учителей математики ПРОФИ
Задание 1.
Нетрудно привести это выражение к виду произведения тангенсов 20, 40, 60, 80 градусов, а потом
Любопытно, что впервые мне встретилась формула тангенса тройного угла, вывести ее достаточно просто. Можно ли обойтись без нее?
Задание 2.
Задание 3.
Дана прямая:
Так как по условию прямые перпендикулярны, то нужно знать:
Для ответа 1) k2=tg75⁰
2) k2=tg105⁰=-ctg15⁰
3) k2=-tg15⁰
4) k2=-ctg115⁰=tg25⁰
5) k2=-tg115⁰=ctg25⁰
То есть, ответ 2.
Задание 4.
Ограничения:
Перечислю корни уравнения:
Сумма корней равна 7π/3. Ответ: 1
Задание 5.
Ограничения:
sinπx=0, x=n, n-целые числа от 1 до 73 включительно, то есть 73 корня. Ответ: 3
Задание 6.
На промежутке [0;2π] эти уравнения имеют корни: 3π/4, 7π/4, 0, 2π, π/2, π, 3π/2, их сумма равна 7,5π.
Ответ: 5
Задание 7.
Это задание представлено спорным решением здесь, отдельным постом, потому что возникли большие сомнения в верности решения.
Задание 8.
Так как 0<sinx<1, то
Из перечисленных чисел только число 3 может быть решением неравенства (входит в один из этих промежутков). Ответ: 5
Задание 9.
Очевидно, что -1≤x-2≤1, то есть 1≤х≤3. Неравенство сводится к виду:
Очевидно, решением неравенства является промежуток [2;3], его середина - число 2,5. Ответ: 2
Задание 10.
Достаточно обычное отличное задание на "выделение полного квадрата" и отработку метода оценки.
Упростим функцию:
Оценим:
-3 ≤ sinx-2 ≤ -1
1 ≤ (sinx-2)² ≤ 9
-9 ≤ -(sinx-2)² ≤ -1
-7,75 ≤ -(sinx-2)² +1,25 ≤ 0,25
0 ≤ y ≤ 0,5. Ответ: 5
Есть опечатки, ошибки? Вполне возможно. Исправлю, дополню, пишите.