Про парадокс шевалье де Мере вам почти наверняка рассказывали, но если вы знаете, в чем там дело (и не мой коллега), то прошу отметиться в комментариях. Сомневаюсь, что таких много. Постараюсь увеличить это количество.
Итак, был такой шевалье, и он много играл в кости. Кости — это кубики. Простая игра из "Трёх мушкетеров" — у кого больше очков на двух кубиках — быстро надоедает, и де Мере придумал пари поинтереснее.
Кстати, меня всегда удивляло рассуждение Атоса, что он-де два очка видел всего три раза за жизнь. Играл он много, это прямо в тексте сказано, а вероятность увидеть на двух кубиках по единичке равна 1/36. За 36 ходов в среднем будет одно такое событие. Это мало о чем говорит, конечно, но вот вероятность не увидеть такое событие ни разу, бросив пару кубиков 25 раз, близка к 0.5; а сто раз — уменьшает ее до 0.06. Не верится, что вот играют у де Тревиля десятки человек вечер за вечером в кости, и вдруг выпало такое, и они все изумились.
Так вот, де Мере придумал вот что: он кидает четыре кубика и проигрывает в том случае, если не выпадет ни одной шестерки. Постепенно выяснилось, что игра немного за де Мере, и играть с ним перестали.
Посчитаем. Вероятность не увидеть шестерку на кубике равна ⅚. Не увидеть четыре раза равна (⅚)⁴. Это вероятность проигрыша де Мере.
Ее надо сравнить с ½, так как ставки равны: проигрывает или выигрывает он одну и ту же сумму. Что же, это меньше ½, если
2∙5⁴ < 6⁴
или 2 меньше, чем (6/5)⁴=1.2⁴. Или √2<1.44.
Это близко. Корень из двух меньше, чем 1.42. Но меньше. Игра за шевалье.
Когда с шевалье держать такое пари прекратили, он придумал модификацию. Теперь он держал пари, что из 24 бросков пары кубиков обязательно выпадет пара шестерок, хоть раз. Его логика понятна: шестерка из четырех бросков чаще выпадает, чем не выпадает; а вторая кость дает шесть вариантов на каждый исход первой кости: значит, надо 4 умножить на 6.
И вот опасность правдоподобных рассуждений! Давайте посчитаем.
Выпадение пары шестерок имеет вероятность 1/36. Невыпадение — 35/36. Невыпадение 24 раза подряд — (1-1/36)²⁴. Это можно переписать как (1-1/36)³⁶ в степени ⅔. Вспомним замечательный предел: (1-1/36)³⁶≈1/e. Шевалье проигрывает, если e в степени ⅔ больше, чем ½. Или e²≈7.39 меньше, чем 2³=8. Это так, то есть шевалье проигрывает.
Конечно, это не доказательство, так как (1-1/36)³⁶<1/e: 0.3627<0.3679. Но мы можем и прямо вычислить: (1-1/36)²⁴=0.5086>½. Наша оценка дала exp(-⅔)≈0.5142: больше, но почти.
Что же пошло не так? Ведь по сути шевалье как бы играет в первую игру, но при этом второй кубик должен в нужный момент выпасть как надо. Вероятность этого 1/6, но и число попыток увеличено в шесть раз!
Да, но мы полагаемся на такое правдоподобное (но не верное) утверждение: если вероятность события равна Р, то вероятность увидеть хотя бы одно событие с вероятностью P/N из N попыток равна Р.
Вероятность эта равна, на самом деле, 1-(1-P/N)ᴺ. При малом P справедливо приближение
1 - (1-P/N)ᴺ ≈ 1 - (1-NP/N) = P.
При большом N справедливо другое приближение:
1 - (1-P/N)ᴺ ≈ 1 - exp(-P) ≈ P - P²/2 + P³/6.
У шевалье вероятность P была близка к ½, но была чуть больше. А N=6. Мы можем просто раскрыть скобки и получить многочлен:
1 - (1-x)ᴺ = 6x-15x²+20x³-15x⁴+6x⁵-x⁶, x=P/6≈1/12.
Мы видим, что последние четыре слагаемых маленькие: даже кубическое меньше, чем 0.02. Первые два дают P-15/144=P-0.1042.
Вот эта вот вычитаемая малость и обеспечила замену выигрыша на проигрыш. Если учесть третье слагаемое, убавка будет около 0.093. А у шевалье 0.5086. Хватает, чтобы испортить всё. Четвертое слагаемое только усугубляет (хотя и не сильно), как и шестое, а пятое влияет только на 4-5 знак.
Давайте проследим за схемой на более простом примере. Пусть Р=½ и мы уменьшаем ее вдвое, но делаем две попытки. Вероятность не увидеть событие в одном опыте равна ¾, а не увидеть дважды: (¾)². Это 9/16, что больше, чем ½. Так что вероятность увидеть хотя бы раз меньше, чем ½.
Это как если бы де Мере метал монету, а потом предложил метать пару два раза и спорил, что дважды портретом короля они не выпадут ни разу. Всего 16 исходов. Он выигрывает, если:
- обе монеты выпадут портретом, а потом как угодно: 4 исхода (++++, +++-, ++-+, ++--);
- как угодно, кроме как два портрета, а потом обе портретом: 3 исхода (+-++, -+++, --++).
Всего семь исходов. А половина от 16 равна 8. Как так вышло? А вот дело в том самом исходе, ++++, который мог бы принести два выигрыша, но принес только один.
В более сложном случае кубиков принцип тот же самый.
Удачи, удачи и ещё раз удачи!