Леонард Эйлер и Джозеф-Луи Лагранж — два величайших математика, которые внесли большой вклад в развитие механики сплошных сред. На основе объединения предложенных ими подходов к описанию движения сплошной среды был создан метод Лагранжа-Эйлера (ALE), который можно использовать для решения широкого спектра различных задач. Из этой статьи вы узнаете, как труды Лагранжа и Эйлера помогли создать ALE-метод, а также, как использовать этот метод для моделирования в программном обеспечении COMSOL Multiphysics.
Леонард Эйлер и Джозеф-Луи Лагранж
Леонард Эйлер родился в 1707 году в Базеле, Швейцария. Он был преуспевающим математиком и за всю жизнь опубликовал более 800 статей. Учился Эйлер у знаменитого Иоганна Бернулли в университете Базеля, где получил степень магистра по философии. Уже в возрасте 19 лет, еще до переезда в Санкт-Петербург и начала работы в университете, Эйлер представил свою первую работу в Парижской академии наук, заняв второе место.
Эйлер быстро поднимался по карьерной лестнице в академии, и уже в 1733 году он возглавил кафедру математики в Санкт-Петербургском университете, сменив на этом посту Бернулли. В 1741 году по приглашению короля Фридриха II Эйлер переехал в Берлин. К 25 годам он написал около 380 статей и первый том своей основополагающей книги Введение в анализируемый инфиниторум, в которой впервые было дано формальное определение функции, введено обозначение f(x), широко применены обозначения e и 𝜋, выведена важнейшая формула:
Джозеф-Луи Лагранж родился в Турине. Сегодня этот город является столицей региона Пьемонт в Италии, но в 1736 году, когда родился Лагранж, город находился в составе королевства Сардиния, а правил городом герцог Савойский. В Лагранже проснулся интерес к математике, так что поработав самостоятельно над некоторыми новыми задачи, он начал переписку с Эйлером, а после отъезда Эйлера из Берлина Лагранж занял его место.
В Берлине Лагранж выполнил большую часть своих математических работ, которые и сделали его известным. Он сыграл важную роль в развитии вариационного исчисления и предложил метод переформулировки классической механики, упрощающий решение задач. Лагранжев формализм, по сути, это та же механика Ньютона, однако введенный Лагранжем функционал описывает движение в классической механике более понятно и просто, чем уравнения движения Ньютона. Еще Лагранж создал метод множителей, который позволяет легко вводить ограничения в системы уравнений в вариационном подходе.
Сравнение методов Эйлера и Лагранжа
Математические формулировки Эйлера и Лагранжа являются основой для метода конечных элементов, реализованном в COMSOL Multiphysics.
В методе Эйлера движение системы анализируется с позиции наблюдателя, связанного с неподвижной системой координат. Такая система координат в COMSOL Multiphysics называется spatial frame (пространственный фрейм). Понятной аналогией эйлерова описания является«лабораторная» система координат в физическом эксперименте, поскольку она задается жестко фиксированными координатными осями без какой-либо привязки к компонентам самой исследуемой физической системы.
На рисунке ниже изображены результаты двумерного прочностного расчета тонкой пластины. Левая грань пластины жестко закреплена, а сама пластина деформируется под действием силы тяжести, направленной вниз. Результаты моделирования, построенные в пространственном фрейме, показывают деформацию пластины, которую мы могли бы увидеть в лабораторном эксперименте.
В эйлеровой формулировке вид уравнений кажется очень естественным. Действительно, этот подход обычно используется для формулировки электромагнитных и гидродинамических задач, в которых полевые переменные представлены в виде функций от координат в пространственном фрейме.
Вместе с тем, метод Лагранжа является хорошей альтернативой для решения задач механики. В методе Лагранжа уравнения механики записываются для дифференциально малого объема материала, грани которого перемещаются в процессе деформации твердого тела. Другими словами, в лагранжевой системе координат тело всегда остается недеформированным, поскольку эта система координат связана с самим деформируемым объектом и движется вместе с ним, но при этом внешние силы меняют направление. Такая система координат, которая трансформируется вместе с деформируемым объектом, в COMSOL Multiphysics называется material frame (материальный фрейм).
Положение одной и той же точки в пространственном и материальном фреймах будет отличаться на величину механического перемещения. На изображении ниже в увеличенном масштабе показано перемещение торца пластины, обусловленное деформацией пластины по мере увеличения плотности и веса. Как видно на анимации, материальный фрейм (красная сетка и стрелки) деформируется вместе с объектом по мере изменения его размеров в пространственном фрейме. Это означает, что анизотропные свойства, например, композитных материалов, удобнее задавать в материальном фрейме.
x– и y координаты материального фрейма в пространственном фрейме. В пределах очень малых деформаций в подобных задачах пространственный и материальный фреймы почти совпадают, потому что перемещения малы по сравнению с размерами объекта. В таких случаях в уравнениях обычно используют тензор инженерной относительной деформации, а сами уравнения оказываются линейными. По мере увеличения механических деформаций линейное приближение, которое используется для расчета тензора деформации, становится все менее точным, поэтому в расчетах необходимо использовать тензор Грина-Лагранжа. В COMSOL Multiphysics термин «геометрическая нелинейность» означает, что в расчете применяется тензор деформаций Грина-Лагранжа.
Более подробные сведения о математической модели вы можете прочесть в заметке моего коллеги Хенрика Зоннерлинда о геометрической нелинейности.
При учете геометрической нелинейности в COMSOL Multiphysics пространственный и материальный фреймы разделяются в соответствии с преобразованием координат с использованием рассчитанных значений перемещений. Материальный фрейм по-прежнему удобно использовать для задания анизотропных свойств материала, поскольку даже в деформированном объекте эти свойства обычно остаются неизменными в системе координат материального фрейма.
Направление же внешних сил, например гравитационной, удобнее задавать в пространственном фрейме. В системе координат материального фрейма внешние силы, например гравитационная, меняют свое направление при деформации объекта. На изображении ниже показан торец тонкой пластины, как и на рисунке выше. Однако здесь амплитуда перемещений показана цветом. Векторы показывают направление гравитационной силы в системе координат материального фрейма. Поскольку система координат материального фрейма жестко привязана к объекту, очевидно, что в этой системе его размеры не изменяются. Однако, амплитуда перемещений увеличивается с весом объекта, а при больших деформациях направление гравитационной силы в системе координат материального фрейма тоже изменяется все сильнее.
Ни Лагранжев, ни Эйлеров формализм не являются более «физическими» или «правильными» по сравнению друг с другом. Это просто разные математические подходы к описанию одних и тех же явлений и формулировке уравнений. Посредством преобразования координат мы всегда можем записать уравнения любого физического явления и в материальном фрейме, и в пространственном. Однако, каждый из этих подходов имеет свои преимущества и обусловленные ими области применения. Некоторые из них приведены в таблице:
Что такое метод ALE?
Теперь поговорим о мультифизических задачах, например, задачах о взаимодействии потока и деформируемой конструкции (fluid-structure interaction (FSI)) или геометрически нелинейных задачах электромеханики. При создании математической модели мультифизических процессов может быть удобно записать уравнения для одного физического явления, используя формализм Эйлера, а уравнения для другого явления — в формализме Лагранжа. Такой подход и называется методом ALE. В рамках этого метода уравнения решаются в третьей системе координат, которая может не совпадать ни с пространственным, ни с материальным фреймом.
Третья координатная система в COMSOL Multiphysics называется сеточным фреймом. Между пространственным и сеточным, а также между материальным и сеточным фреймами существует однозначное соответствие, поэтому в любой момент времени уравнения, сформулированные в пространственном и материальном фреймах, могут быть записаны и решены для сеточного фрейма.
При расчете перемещений в твердотельных доменах используются уравнения механики Лагранжа. При этом связь между координатами в пространственном и материальном фреймах задается, как и раньше, перемещением. В методе ALE используются дополнительные уравнения, которые позволяют изменять положение и форму сеточных элементов в близлежащих доменах пространственного фрейма. Благодаря этому можно описать, как механическая деформация меняет положение и форму границ доменов, в которых решаются уравнения в формулировке Эйлера. Указанные дополнительные уравнения реализованы в COMSOL Multiphysics в интерфейсах Moving Mesh (Подвижная сетка) или Deformed Geometry (Деформированная геометрия).
На границах, разделяющих домены, в которых используются формализмы Лагранжа и Эйлера, в качестве граничного условия для дополнительных уравнений используется условие равенства перемещений в пространственном фрейме (которые определяются перемещениями узлов сетки) и механических перемещений пространственного фрейма относительно материального фрейма. Даже в случае, когда в модели уравнения механики не решаются, то есть лагранжев формализм не используется, метод ALE можно применять для определения перемещения границ расчетной области вследствие осаждения или удаления материала.
Применение метода ALE в мультифизическом моделировании
Если вам показалось, что метод ALE — это какая-то математика, то так и есть! Трудно объяснить суть метода, используя абстрактные понятия. Давайте лучше рассмотрим пример реализации метода ALE в COMSOL Multiphysics, чтобы лучше разобраться в этом вопросе.
Взаимодействие потока жидкости и элементов конструкции микронасоса
Метод ALE играет важную роль в задачах FSI-моделирования. В COMSOL Multiphysics этот метод обеспечивает автоматическую двустороннюю связь между уравнениями гидродинамики и деформацией конструкции, и это можно увидеть на примере учебной модели микронасоса.
Основными элементами конструкции микронасоса являются два кантилевера, которые несут те же функции, что и клапаны в обычных насосах. Кантилеверы достаточно гибкие, поэтому они деформируются под воздействием потока жидкости. В процессе работы, когда жидкость всасывается или выталкивается насосом, оба кантилевера деформируются под воздействием потока так, что жидкость движется вправо или влево.
Деформации кантеливеров достаточно велики, поэтому изменение положения границы, разделяющей жидкость и твердое тело, существенно, и мы имеем задачу с геометрической нелинейностью. Давление, с которым жидкость действует на твердое тело, и сила, с которой твердое тело воздействует на жидкость, равно как и деформация расчетной сетки рассчитываются автоматически в интерфейсе Fluid-Structure Interaction (Взаимодействие жидкости и конструкции). Интерфейс использует метод ALE для учета изменения формы твердой и жидкой областей.
В твердом теле уравнения механики, записанные с учетом геометрической нелинейности, определяют перемещения пространственного фрейма относительно материального. В уравнениях, описывающих течение жидкости, необходимо деформировать расчетную сетку, чтобы описать перемещение твердых границ в пространственном фрейме, в котором сформулированы уравнения жидкости. Деформация на границах задается механическим перемещением, найденным из решения задачи механики. Однако в области жидкости точное положение и ориентация узлов сетки не важны, так как уравнения описываются в фиксированной пространственной системе координат. Поэтому деформация сетки сглаживается, чтобы гарантировать устойчивость численных алгоритмов и сохранить высокое качество элементов сетки.
Чтобы объяснить принцип решения задачи FSI методом ALE, можно перефразировать объяснение общей теории относительности: силы, вызванные потоком жидкости (метод Эйлера), приводят к деформации твердого тела в материальном фрейме (метод Лагранжа), в то время, как деформация тела (метод Лагранжа) определяет перемещение узлов сетки в пространственном фрейме (метод Эйлера).
В COMSOL Multiphysics, начиная с версии 5.3a, инструмент Moving Mesh, который используется для определения деформаций сетки в подобных задачах, находится в разделе Component (Компонент) > Definitions (Определения). Это обеспечивает согласованность в определении материальных и пространственных фреймов между всеми физическими интерфейсами в модели, даже если их несколько. На снимке экрана ниже показано, где находятся настройки узла Moving Mesh в дереве модели COMSOL Multiphysics.
Электроосаждение в медной канавке
Возвращаясь к задачам электромеханики, в учебном примере осаждения меди в канавке показано, насколько важен метод ALE при решении задач электроосаждения. В этой модели медь осаждается на печатной плате, в которой есть небольшая канавка. Слой меди становится толще по сравнению с общим размером канавки, поэтому размер и ориентация поверхности меди сильно меняются по мере осаждения. Поскольку скорость осаждения меди в разных точках на поверхности неодинакова, нельзя пренебрегать формой и движением границы.
Чтобы рассчитать скорость осаждения в заданной точке на границе медного электрода и электролита, необходимо задать концентрацию частиц и потенциал раствора электролита, примыкающего к этой точке. В процессе осаждения граница перемещается, и форма электролита непрерывно изменяется. Аналогично, необходимо пересчитывать концентрацию частиц и распределение потенциала на измененной границе.
Связь скорости осаждения с граничной скоростью движения и расчет изменяющейся формы электролита выполняются с помощью метода ALE, реализованном в мультифизической связке интерфейсов Tertiary Current Distribution (Третичное распределение тока) и Deformed Geometry (Деформированная геометрия). В этом случае Deformed Geometry смещает поверхность меди в пространственном фрейме со скоростью, пропорциональной локальной плотности тока электроосаждения, которая вычисляется с помощью электрохимического интерфейса.
Модель позволяет точно рассчитывать процесс электроосаждения для оптимизации его параметров. Также можно экспериментировать со значениями напряжения и геометрией поверхности осаждения, чтобы улучшить однородность осаждения для более эффективного процесса и качества конечного продукта.
Термоабляция
При термической абляции, которую обсуждали в предыдущей заметке блога, материал плавится и испаряется под воздействием высокой температуры. Примером может быть удаление материала лазером в процессе травления, лазерного сверления или лазерной хирургии глаза, а также теплоизоляционная защита космического корабля, когда он входит в атмосферу.
Поскольку мы ожидаем, что форма объекта изменится при удалении части его материала, деформированная сетка играет важную роль при моделировании термоабляции. Нам необходимо знать, как изменится форма объекта. Это зависит от того, как соотносится подводимое тепло с теплом, выделяющимся при абляции, и рассеянием тепла по всему объекту вследствие проводимости.
Чтобы получить данную информацию, можно рассчитать профиль температуры как функцию от пространственных координат и времени, решив уравнение теплопроводности с помощью интерфейса Heat Transfer (Теплопередача). Поскольку масса и форма объекта меняются, необходимо соединить физические интерфейсы Heat Transfer и Deformed Geometry, используя метод ALE для смещения границы в соответствии со скоростью абляции. С помощью решения уравнений теплопередачи рассчитывается распределение температуры в объекте в процессе изменения его формы.
Выполнив эти шаги, мы получим точный расчет процесса термоабляции. Кроме этого, можно определить конечную форму объекта после завершения абляции. Это позволяет определить, попадает ли лазерный сварной шов в допустимые пределы, и переживет ли космический корабль аварийную посадку.
Используйте деформированную сетку при моделировании
Вклад Леонарда Эйлера и Джозефа-Луи Лагранжа в математику проложил путь к моделированию различных систем, в том числе к проведению мультифизических расчетов. Совмещение их методов привело к созданию метода ALE, который можно использовать для прогнозирования физического поведения при деформации или смещении объектов. При правильном определении этих движений можно настраивать высокоточные модели. Не забудьте поблагодарить Эйлера и Лагранжа за то, что вы можете исследовать модели, использующие метод ALE!
Метод ALE является одним из множества встроенных инструментов COMSOL Multiphysics®. Узнайте больше про COMSOL по ссылке.
Дополнительные источники информации о методе Лагранжа-Эйлера
1. Ознакомьтесь с примерами, представленными в данной заметке:
2. Узнайте, как использовать метод ALE для моделирования линейного и вращательного движений, а также произвольного поступательного движения:
#наука #физика #технологии #программы #численные методы #fem #comsol