Никакое простое число, представимое в виде 4к - 1 суммой двух квадратов никогда не может быть.

Доказательство. Первое такое простое число есть 3. 3 - 1 = 2, 3 - 4 = -1 квадратами не являются. Второе такое число есть 7, которое получается при к = 2. 7 - 1 = 6, 7 -4 = 3, 7- 9 = -2 квадратом быть не может. Предположим, что к- тое натуральное простое число nk вида 4к -1 суммой двух квадратов не является, а к + 1 -ое натуральное число nk +1 является суммой двух квадратов. Тогда по аксиоме спуска nk также представляется в виде суммы двух квадратов, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает утверждение.