Итак, Вы уже освоили основы механики: скорость, ускорение и колебательные движения маятника. Хорошо бы применить знания к следующему эксперименту. Допустим по мере развития технологий человечество создаст тугоплавкие материалы и сможет пробурить Землю насквозь, сквозь её мантию и ядро.
Как это поможет в международной логистике?
Международная логистика включает в себя широкий спектр мероприятий, цель которых – создать эффективную систему, по которой будут осуществляться поставки товаров. Она решает важную задачу по перемещению товаров различных категорий между их поставщиками и получателями и предусматривает разработку оптимального маршрута.
Международный туризм в комментариях не нуждается.
Найдём ответ на следующий вопрос:
♦ Определить время полета лифта от одного полюса Земли до другого по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли будем считать постоянной (на самом деле ближе к центру плотность возрастает с 4 грамм на куб. см. примерно до 13 грамм на куб. см.), а радиус Земли положим равным 6400 км.
Помним, что в пустотелой сфере сила гравитационного притяжения равна нулю- имеет значение лишь шар, диаметром r - радиус которого как раз и равен расстоянию до центра Земли.
Есть аналогичная задача для электрического поля. По теореме Остроградского - Гаусса поток (это напряжённость электрического поля * площадь сферы) равен суммарному заряду, охватываемой этим зарядом. Поскольку гравитационное поле точечной массы описывается законом, аналогичным закону Кулона, теорема Остроградского - Гаусса может быть применена и к нашему случаю.
Предполагая, что плотность Земли постоянно, легко понять, что гравитационное поле зависит линейно от радиуса. В самом центре Земли напряжённость гравитационного поле равна нулю, а на поверхности Земли равно g.
Запишем ускорение, свободно падающего до центра Земли лифта:
d^2x/d^2t =-g x/R
Здесь вторая производная x по времени (x расстояние до центра Земли) равна со знаком минус гравитационная постоянная умножить на x поделить на радиус Земли R.
Исходя из уравнения, описывающего движение осциллятора, находим частоту колебаний и период.
w = √(g/R)
T = 2π√ (R/g)
Если пренебречь трением о направляющие рельсы (Кориолисова сила будет воздействовать перпендикулярно движению лифта - также пренебрегаем), то ровно через половину периода лифт окажется в противоположной точке Земли, а спустя период - вернётся в исходную точку старта.
Таким образом, время полёта в одну сторону в нашем лифте сквозь Землю составит Т/2 или
T = π√ (R/g) = 3,14 * √ 6.4 10^6/9.8 сек.
что приближённо = 3*8 *100 секунд = 2400 секунд или 40 минут. Более точный расчета показывает 42 минуты, но для более точного вывода требуется учитывать разную плотность Земли.
Что это даст нашему народу?
♦ Другая задача. В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр. Определить время движения поезда с выключенными двигателями по такому тоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением пренебречь.
Здесь как и в первом случае, нас интересует лишь ускорение вдоль тоннеля и масса шара в пределах радиуса r.
Раскладывая ускорение по компонентам (x отсчитывается вдоль тоннеля от его центра), выражая синус угла через радиус r = |AE|, α = <EAF, sinα = |EF| / |AE| = x/r, мы находим, что движение лифта задаётся таким же уравнением, как сквозь центр Земли, оно приведено под геометрическим рисунком выше.
При этом амплитуда скорости движения лифта определяется как для осциллятора:
v_max = w • R
Здесь w - циклическая частота, R радиус Земли, т.е. амплитуда колебаний (возьмите производную от x A•coswt по времени и получите -wA•sinwt).
В результате, амплитуда скорости , т.е. её максимум, достигаемый в центральной точке лифта, составит v_max = √(gr) = 8 км./сек, т.е. первая космическая скорость. В лифте должен быть вакуум для того, чтобы избавиться от сопротивления воздуха.
Таким образом, от Калининграда до Владивостока можно будет добраться как на электричке за 40 минут, как на работу по г. Москве. Быть может это станет хорошим подспорьем в освоении Дальнего Востока! 😊
А международная логистика и туризм получат новый импульс для своего развития.