Андрей Алексеенко родился 23 апреля 1978 года на Кубани в станице Новопокровской.
Окончил Пашковский сельскохозяйственный колледж по специальности «Эксплуатация и строительство сооружений и зданий». После отучился в КубГАУ по специальностям «Финансы и кредит» и «Гражданское и промышленное строительство». Является кандидатом экономических наук.
В 1996 году работал на АОЗТ «Спецдорремстрой» помощником мастера. После перешел на «Краснодарсельмаш».
В 2006 году назначен заместителем гендиректора ООО «Дион-А». Работал на должности главы отдела координации, экономического развития и внешних связей при региональной администрации.
В 2010 году стал заместителем главы Туапсинского района по вопросам ТЭК и ЖКХ.В сентябре 2015 года назначен и.о. главы Ейского района.
Через месяц занял должность заместителя губернатора по вопросам ЖКХ и ТЭК.
С ноября 2021 года Андрей Алексеенко занимает пост главы кубанской столицы.
Награжден медалью «За выдающийся вклад в развитие Краснодарского края» (3 степень), а также Почетными грамотами администрации Кубани за деятельность в должности замглавы Туапсинского района.
Женат, воспитывает троих детей.