Доброго времени суток! Сегодня поговорим о методе проверки вычислений, которым, до появления калькуляторов, пользовались все: от бухгалтеров до ученых; и который несомненно пригодиться вам как на ЕГЭ, так и на контрольных. Приятного прочтения!
Представим ситуацию: нам надо сложить 2 числа. Пусть это будут 7589 и 975. Кто-то без проблем может сложить такие числа в уме, но мы все же сделаем это столбиком: 7589+975=8564.
Вот у нас есть ответ, но вдруг мы что-то неправильно посчитали? «Жертва ЕГЭ», разумеется, возьмет и пересчитает заново. Но сейчас я хочу вам предложить способ в разы проще.
Что нужно сделать? Нам необходимо сложить все цифры каждого числа. Если это 7589, то 7+5+8+9=29. Проделываем операцию, пока не останется 1 знак: 2+9=11, 1+1=2.
Тоже самое делаем с 975:
9+7+5=21;
2+1=3.
Эти цифры, которые у нас получились, называются цифровыми корнями данных чисел. Теперь сложим их: 2+3=5. И найдем цифровой корень получившегося у нас результата, т.е. 8564. Если он не равен 5, то мы где-то допустили ошибку. Проверяем:
8+5+6+4=23;
2+3=5.
Все сходится! Вычисления выполнены верно!
Тоже самое можно проводить с умножением: умножаем 539 на 41. 539*41=2695. Проверяем: первое число:
5+3+9=17;
1+7=8.
Второе число:
4+1=5.
Произведение:
5*8=40;
4+0=4.
И находим числовой корень для ответа:
2+6+9+5=22;
2+2=4.
Все сходится!
А теперь поговорим о том, почему это работает и в каких местах ломается. Первое, что можно заметить, - подобная проверка не работает с делением. Возьмем 315/15=21. Проверяем: 9/6 не= 3. Но это можно исправить, перенеся 15 в правую часть. Теперь на правильность надо проверить умножение 21*15:
9 =3*6;
9=1(+)8;
9=9.
Работает!
Второй момент: этот метод не поможет найти ошибку, если вы ошиблись на число, кратное 9. Т.е., в самом первом примере, представим, что мы получили в ответе 8573. Нам надо, чтобы цифровой корень был 5. Проверяем:
8+5+7+3=23;
2+3=5.
По нашему методу сходится, а по факту нет!
Третий момент: девятки можно не учитывать при сложении цифр числа. Например 9546. Сложим честно:
9+5+4+6=24;
2+4=6.
А теперь без девяток и их составляющих:
Выбрасываем 9, 5 и 4 (т.к. 5+4=9). Остается 6. Это совпадает с «честным подсчетом».
Теперь, когда мы эмпирическим методом узнали все про данный способ, давайте залезем в самую суть и докажем, почему это работает.
Любое число можно представить в следующем виде: 9n+a, где n и a – целые числа. (Т.е. как сумму той части числа, которая делится на 9, с остатком от деления на 9). Тогда a – интересующий нас цифровой корень.
Допустим, складываем 2 числа: (9n+a) + (9m+b) = 9(n+m) + a + b. Т.е. складывая 2 числа мы получаем еще одно число в виде суммы цифровых корней слагаемых и части, кратной 9. А значит в таком равенстве можем сократить части, кратные 9 и получить a+b=a+b.
С вычитанием тоже самое: (9n+a) - (9m+b) = 9(n-m) + a – b. Аналогично a-b=a-b.
С умножением чуть сложнее:
(9n+a)*(9m+b) = 81mn + 9bn + 9ma + ab
(9n+a)*(9m+b) = 9(9mn+bn+ma) + ab. Получается, что сумма чисел – это сумма числа, кратного 9, с произведением их цифровых корней.
Получается, что вся суть данной проверки – убрать у чисел все лишнее, кратное 9, и работать с остатками. Поэтому таким образом можно проверять большие суммы.
Почему же не работает с делением: (9n+a)/(9m+b). Как легко заметить, в данной записи нельзя хорошо сгруппировать слагаемые, кратные 9, в одно слагаемое, которое можно будет игнорировать. Поэтому от деления лучше перейти к умножению и проверить этим методом.
Настоятельно рекомендую делать проверки на ЕГЭ именно этим методом, потому что он позволяет независимо от расчёта в столбик проверить вычисления. Но обязательно нужно помнить про особенности, связанные с девятками и делением.
Всем спасибо за прочтение! Ставьте лайки, делитесь этой статьей с друзьями!
Наши соцсети:
Телеграмм: https://t.me/fizmatichka
Дзен: https://zen.yandex.ru/fizmatika
Ютуб: https://www.youtube.com/channel/UCTAe6tX9iKPBwFbAyIHcTuw
Вк: https://vk.com/club214170364