Ферма еще в 17 веке записал на полях своей книги "Арифметика" Диофанта замечание относительно простых чисел: Все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, где к целое число, причем простые числа вида 4к + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа вида 4к - 1 никогда не будут суммой двух квадратов.
Мы представили алгоритм доказательства первого утверждения с помощью калькулятора. В настоящей публикации мы представляем алгоритм доказательства второго утверждения также с помощью калькулятора. Итак, чтобы доказать, что некоторое простое число n', представимое в виде 4к - 1, где к целое число, никогда не будет суммой двух квадратов надо из этого числа вычитать последовательные квадраты 1, 4, 9, и так далее до тех пор, пока не получим отрицательное число. Такой результат доказывает, что наше число n никогда не будет суммой двух квадратов.