Палладий Андреевич Богданов родился 27 ноября (9) декабря 1881 года в Санкт-Петербурге на Большой Охте. В 1892—1903 годах — певчий и учащийся Придворной певческой капеллы. В 1903 году окончил инструментальные классы капеллы по специальности скрипка и регентские классы как учитель церковного пения и теории музыки. Учился у Н. А. Римского-Корсакова, М. А. Балакирева, А. К. Лядова, Н. А. Соколова, А. С. Аренского, С. М. Ляпунова, М. Р. Щиглева, П. А. Краснокутского, Е. С. Азеева.
В 1913 году окончил экстерном Санкт-Петербургскую консерваторию по классу композиции.
В 1903—1914 годах был художественным руководителем, дирижёром и преподавателем теоретических предметов и пения в Государственной академической капелле Санкт-Петербурга. В 1914—1917 года служил в армии. В 1919—1941 годах работал дирижёром Государственной академической капеллы, преподавал теоретические предметы и хоровое пение в школе и техникуме капеллы.
В 1934 организовал хор Ленинградского Радиокомитета и в течение нескольких лет руководил им.
Во время Великой Отечественной войны (1941—1944 годы) был директором школы, эвакуированной в село Арбаж Кировской области, до самой её ликвидации (весной 1944 года школа вывезена в Москву и на её основе А. В. Свешниковым создано Московское государственное хоровое училище). После возвращения в Ленинград восстановил при Капелле учебное подразделение в виде Музыкально-хорового училища (ныне Хоровое училище имени М. И. Глинки), в 1944—1945 годах был его художественным руководителем, а в 1945—1955 годах главным дирижёром хора мальчиков училища.
В 1945 году организовал Ленинградский ансамбль песни и пляски Трудовых резервов (сейчас Вокально-хоровая студия «На Фонтанке»).
Среди его учеников: В. А. Дранишников, А. С. Дмитриев, Д. Г. Китаенко, А. А. Юрлов, В. Н. Минин, А. Г. Мурин, В. А. Чернушенко, Ю. В. Петров, А. Г. Флярковский, Р. Г. Бойко, В. А. Атлантов, А. А. Броневицкий.
В 1954 году, на 73-м году, из-за тяжёлой болезни отошёл от дирижёрской и композиторской деятельности. Умер 31 марта 1971 года в Ленинграде. Похоронен на Большеохтинском кладбище.