Теорема Существует бесконечное множество троек простых чисел p<p'<p" таких, что p' - p = 2, p" = p + 6.
Доказательство. Первой тройкой таких натуральных простых чисел будет p = 5, p' = 7, p" = 11, т.е. n1 = 5, n1 + 2, n1 + 6. Второй тройкой таких натуральных простых чисел будет n2 = 11, n2 + 2 = 13, n2 + 6 = 17 и т. д. к - ой тройкой таких чисел будет nk, nk + 2, nk + 6. Предположим для любого nk + 1 > nk тройка nk + 1, nk + 1 + 2, nk + 1 + 6 не удовлетворяет требуемому свойству, т. е. по крайней мере одно из чисел nk + 1, nk + 1 +2, nk + 1 + 6 является составным. Тогда, согласно аксиоме спуска, тройка nk, nk + 2, nk + 6 также не будет тройкой простых чисел, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.