Хватит ли интернета на всех?
Для решения этой задачи потребуется вспомнить тригонометрию. Вспомним же её!
Три брата купили квадратные участки в лесном посёлке. Участки одинакового размера. Длина каждого участка — 100 метров, а расположены они треугольником:
Братья решили сэкономить на интернете и поставить один роутер на троих. Чтобы найти точку, одинаково близкую ко всем участкам, они вплотную обвели три квадрата в круг и поставили роутер точно в центре получившегося круга.
Но братья не учли, что сигнал роутера дотягивается только на 130 метров, а дальше интернет теряется. Хватит ли братьям этого роутера или нужно взять мощнее?
Решение
Чтобы понять, хватит ли братьям этого роутера, нужно выяснить, какого радиуса круг у них получился. Если радиус будет меньше, чем радиус покрытия роутера, то всё в порядке, а если нет — роутер придётся менять.
Первым делом проведём через круг три диаметра, каждый из которых будет проходить через вершину треугольника. Длина каждой стороны треугольника — тоже 100 метров, так как он образован сторонами квадрата:
Раз все три линии в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке, то каждая линия — одновременно биссектриса (делит угол пополам) и медиана (делит противоположную сторону пополам), а ещё она проходит под прямым углом к противоположной стороне. А раз участки квадратные, то и противоположную сторону эта линия тоже пересекает под прямым углом и тоже делит ту сторону пополам:
Теперь посмотрим поближе на центральный треугольник, а точнее — на один из маленьких треугольников, который получился в результате. Так как каждая синяя линия — это биссектриса, а в равностороннем треугольнике все углы по 60 градусов, то левый угол будет равен 30 градусам. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, и у нас уже есть два угла — 30 и 90 градусов. Это значит, что верхний угол будет равен 180 − 90 − 30 = 60 градусов:
Зная всё это, найдём длину короткого катета по формуле X = tg (30) × 50 = 1/√3 × 50 = 50/√3
Теперь вернёмся ко всему рисунку и посмотрим на другой треугольник, где одна из сторон — это радиус круга.
Мы уже знаем, что синие линии делят квадраты пополам, а значит, нижняя сторона треугольника равна 50 метрам. Также мы знаем, что внизу у нас прямой угол, а значит, зелёная сторона треугольника тоже равна 100 метрам:
Получается, что у нас есть прямоугольный треугольник с катетами 50 метров и (100 + 50/√3) метров, и нужно узнать длину гипотенузы. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
a² + b² = c²
Подставим сюда наши значения и решим уравнение:
50² + (100 + 50/√3)² = r²
r = √(50² + (100 + 50/√3)²)
r = √(2500 + (100 +28,86)²) = √(2500 +16606,83) = 138,22
Выходит, что радиус круга (138 метров), который граничит со всеми участками, меньше, чем радиус действия роутера (130 метров). Значит, братьям нужно брать роутер помощнее или ставить всё своё оборудование ближе к роутеру.