Существует только одно простое четное число 2, так как все четные числа делятся на 2, а простые числа n имеют только два делителя 1 и само число n . Таким образом, простыми числами могут быть только нечетные числа такие, как 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... , 1 считается первым натуральным числом и оно не есть ни простое, ни составное. Если мы разобьем все натуральные числа на классы в зависимости от того, что мы получим при делении натурального числа на 4, то образуются 4 класса натуральных чисел. В один класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 0. В другой класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. В третий класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2, и, наконец, четвертый класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все нечетные числа войдут в два класса: в класс, в котором числа при делении на 4 дают в остатке 1 и в класс, в котором числа при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, что все простые числа также окажутся в этих двух классах. Еще Ферма заметил, что все простые числа кроме 2 представимы в виде 4k + 1 и 4k - 1, причем простые числа, представимые в виде 4k + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа, представимые в виде 4k - 1 никогда не будут суммой двух квадратов. Мы это утверждение (замечание) Ферма доказали [ 1 ] в 2015 году. Хотя в монографии С. Сингха [ 2, 73] указано, что Эйлеру удалось доказать это замечание Ферма после семи лет работы над этим, мы доказательство Эйлера нигде не нашли.
Литература:
[ 1 ] Кочкарев Б. С. Проблема близнецов и другие бинарные проблемы. Проблемы современной науки и образования. 2015 №11(41) с. 7-10.
[ 2 ] Сингх С. Великая теорема Ферма. МЦНМО 2000.