Дорогие ребята и мои коллеги. Чтобы подготовить эту статью, я трачу своё время и силы. Поэтому буду очень благодарен вашей реакции в виде комментариев и лайков)
Ну, не будем тянуть кота и начнем разбор. Поехали!
1 задание
Первое задание можно было выполнить 3 способами.
1) как показано в оформлении. То есть просто выделить полный квадрат и аккуратно избавиться от корня. Аккуратно - это чтобы результат корня был ≥0. То есть будет √2-1. а не 1-√2.
2) воспользоваться формулой двойного радикала:
3) просто возводить левую и правую часть в квадрат и потихоньку избавиться от корней.
2 задание
Здесь задачка похитрее. И можно посчитать по-разному.
1) Например, в видео я просто решал по стандарту. Получил систему уравнений с двумя неизвестными и ее решал. Но способ этот заморочен - слишком большие числа.
2) а вот если заметить, что первое уравнение - однородное. То есть можно или разделить на d^2 и решить полученное квадратное уравнение. Или просто разложить по т.Виета, как это сделал я в оформлении.
3 задание
Посмотрим на углы - x, 2x, 4x. и всё это в первых степенях. Значит к 2х всё не сведешь.
Но шестерки нам намекают, что надо бы сгруппировать. А дальше уже дело техники. Применив формулы разности синусов и косинусов прикидываем, что слева будут углы 3х/2 и х/2. А справа как раз в два раза больше 3х и х.
Поэтому эти формулы и применяем. А потом еще и формула двойного угла.
Одинаковые множители выносим за скобку - они у нас будут равны нулю. А вот со скобкой могут возникнуть проблемы. Но достаточно вспомнить, что синусы и косинусы от -1 до 1. Тогда скобка не бывает меньше 2 - ну, значит она нулю не равна. Решаем простейшие уравнения и записываем ответ.
4 задание
Логарифмы, да по переменному основанию...
Первым действием сделаем везде основание 3. Далее прям напрашивается замена логарифмов на a и b, но и без этого можно заметить, что когда вычтем 1, то получится две одинаковых скобки. Их мы благополучно и выносим за скобки.
Далее потихоньку приводим в божеский вид, попутно применяя метод рационализации. При применении рационализации не забываем дописать пропавшие ограничения на х, а то у логарифмов внутри положительно должно быть. Решив получившуюся систему простейших неравенств, записываем ответ.
Если у тебя решение подобных заданий вызывает проблемы или нужно сдать под 100 баллов ДВИ МГУ или ЕГЭ, то записывайся в обучение:
ВК: https://vk.com/learneasyvv
Телеграм: https://t.me/LearnEasyVV
5 задание
Ох. с пятым заданием на видео я затупил. Сидел, пытался как-то применить формулу радиусов вписанной окружности. Да вот не обратил внимания, что у ромба параллельные стороны.
Стоило это увидеть, как сразу стало понятно, что эти мелкие треугольники, да и большой - подобны. И вот тут неожиданно, радиусы вписанных окружностей дают нам коэффициент подобия мелких треугольников! А я всё пытался их в формулу с площадью и периметром засунуть!!!
Ну а дальше дело техники: выражаем стороны мелких треугольников через t. Замечаем, что в АВС у нас теперь есть 2 стороны и угол в 60°. Значит можно выразить еще и АВ через t.
Вот так мы с вами узнали три стороны в АВС. А это есть периметр. Площадь тоже не проблема найти. Значит дело за радиусов вписанной окружности.
Его мы найдем, зная коэффициент подобия. Вот и вся задача!
6 задание
6 задание оказалось очень интересным.
Первый взгляд не дает почти ничего. Корни? ну давайте пропишем ограничения. Так, xy уже от 0 до 2.
Вот везде есть xy и прям мозолит глаза сумма квадратов. Но мы-то знаем, что есть связь между xy, (x-y) и x^2+y^2. Воспользовавшись этой формулой, подмечаем, что слева одна дробь ≥0. А вот xy+1/xy - это же сумма двух обратных чисел, причем xy>0. Значит эта сумма ≥2. итак, справа у нас ≥2. Значит надо попробовать оценить правую часть.
Справа только xy. Значит, сделаем замену. На видео я сделал замену корня четвертой степени, чем усложнил задачу. А вот немного преобразовать и сделать замену √xy - вот тут замечаем, что под корнем парабола. эта новая переменная у нас будет (0;2]. Значит, исследуем нашу параболу на (0;2].
Оказывается, что результат всегда будет от 0 до 1. Дальше там корень возьмем, умножим на 2 и, вуаля, справа ≤2.
То есть слева ≥2, а справа ≤2. Значит равенство может быть только если и слева и справа 2. Записываем условия, при которых это происходит. И получаем ответ (1;1) и (-1;-1).
Вот так начали просто с ограничений, а они оказались нужны как границы для функции справа. Немного оценок и задача решилась)
Поэтому всегда в таких задачах нужно накидывать всё, что можешь. Ведь, часто именно такой мелкий вывод позволит решить задачу!
7 задание
Ну, 7 задание, вообще меня удивило.
Простейшее задание как будто из ЕГЭ.
Здесь решил обычным способом. Перенес параллельно и получил угол между AB' и BC'. А дальше, понимая, что D'BC' - прямоугольный, выражаем каждую его сторону через сторону основания (у нас она х). В итоге, записывая теорему Пифагора, получаем уравнение относительно х. Вот и всё.
И да, тут можно было решать и координатным методом)
Анализ
Самое главное, стереома - простейшая!!!
геометрия, хоть я на ней и застрял, похожа на предыдущие билеты.
Триг. уравнение вроде и простое, но есть там элемент оценки.
Неравенство более простое - рационализация наше всё)
Первые две задачи посложнее по сравнению с предыдущими, но всё же решаемы.
Вот 6е задание явно похитрее. Нужно сделать парочку действий, которые сразу и не догадаешься и задачка решена)
Запись на обучение:
ВК: https://vk.com/learneasyvv
Телеграм: https://t.me/LearnEasyVV
Так что ребята, не ждите последних волн. Сдавайте в первой - она явно проще!
