Интересная статья опубликована в журнале «Семь искусств» про задачу Наполеона. В ней задача названа теоремой. Эту задачу Наполеон любил задавать при случае своим знакомым. Она известна в другой формулировке, но начнём с формулировки из упомянутой статьи, так как в ней автор не ставил себе задачу привести доказательство, а мы его рассмотрим.
Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику (во внешнюю область треугольника), то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — также равносторонний.
Источник. Евгений Брейдо: Теорема Наполеона и его военная стратегия | СЕМЬ ИСКУССТВ
Аналогичное утверждение верно и для правильных треугольников, построенных во внутреннюю область данного треугольника. После окончания технического перерыва на сайте www.shevkin.ru в конце настоящей статьи приведём ссылку на статью 2015 года, в которой упоминается задача Наполеона в другой формулировке и приведены другие его задачи. Там же будет показано решение задачи Наполеона, найденное учеником 9 класса ФМШ № 2007 Москвы. Он обошёлся без формулы косинуса суммы двух углов. На момент решения задачи он её ещё не изучал.
Итак, рассмотрим решение задачи Наполеона.
На каждой стороне треугольника ABC построим во внешнюю область равносторонние треугольники — у каждого такого треугольника красные стороны равны чёрной стороне данного треугольника. L, M, N, — центры построенных равносторонних треугольников (см. рис.).
В равнобедренных треугольниках ANB (AN = NB) и AMC (AM = MC) углы NAB и MAC содержат по 30°.
Ссылка на более раннюю статью по теме:
Шевкин А.В. Вокруг задач Наполеона