Сегодня мы рассмотрим задание №4605 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности, однако оно вполне по силам ученикам средних способностей.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите значение выражения:
Рассуждаем
Первое, с чего надо начинать – квадрат косинуса. Это самое сложное место в решении, и здесь потребуется вспомнить формулы, в которых есть такой элемент.
Сразу приходит на ум основное тригонометрическое тождество, однако, в нём вместе с квадратом косинуса имеется и квадрат синуса. Фактически, применив его – мы ничего не упростим, просто заменим квадрат косинуса на квадрат синуса.
Поэтому придётся вспомнить другие формулы, где квадрат косинуса преобразуется в тригонометрическую функцию первой степени. Такая формула есть, это косинус двойного аргумента:
Вобще говоря, есть несколько формул двойного аргумента, однако, эта подходит больше всего. Заметим, что в ней есть также разность с постоянной величиной, а в исходной формуле у нас также есть похожая разность. Такие совпадения зачастую подсказывают, что мы на верном пути.
Действительно, обратим внимание, что в исходной разности можно вынести за скобки корень из восьми. В этом случае на втором месте у нас получается единица, требующаяся для формулы двойного угла, а на первом месте коэффициент делится на корень из восьми. То есть, после вынесения общего множителя за скобки, в скобках всё будет подготовлено к применению формулы.
Останется упростить аргумент косинуса. Для этого потребуется вспомнить формулы приведения, и свойства косинуса – его период (который можно сокращать) и чётность (изменение знака аргумента не меняет значение косинуса). После упрощения выражение вычисляется по готовой формуле или из таблиц готовых значений.
План решения
- Вынесем за скобки корень из восьми.
- Используем формулу двойного угла.
- Подготовим аргумент косинуса к виду, удобному для готовой формулы с помощью формул приведения и свойства чётности.
- Заменим косинус его значением из таблиц, получим окончательный ответ.
Решение.
Исходное неравенство:
Вынесем за скобки общий множитель:
Используем формулу косинуса двойного угла:
Сокращаем аргумент на период 2π:
Учитывая чётность косинуса, меняем знак:
Заменяем косинус табличным значением и окончательно получаем ответ: